Convergencia de la secuencia $w_n=h(nx)$ donde $h(x)=1$ para el número primo $x$ y $h(x)=0$ en caso contrario

Question

Buenos días. ¿Por favor, tienes un método simple para resolver esta pregunta?

Sea $h$ una función definida en $(0,+\infty)$ de la siguiente manera: $$ h(x)=\begin{cases} 1&\text{si $x$ es un número primo}\\ 0&\text{en caso contrario} \end{cases} $$ Demuestra que para cualquier $x>1$, la secuencia $w_n=h(nx)$ converge a $0$ cuando $n\to\infty$.

Muchas gracias.

Answer 1

Sea $x>1$ fijo. En el primer caso, tenemos que $x = p/q$ con $p,q$ números naturales coprimos. Si $nx$ es un número natural y primo, debemos tener que $n=q$ y $p$ debe ser primo. Esto ocurre solo para un $n$. Por lo tanto, para $n>q$, tenemos que $h(nx)=0$.

Si $x>1$ es irracional, entonces cualquier $nx$ es irracional y por lo tanto $h(nx) =0$ para todo $n>1$.

Answer 2

La secuencia que definiste arriba es igual a cero para todos los $n\neq 1$, ya que $nx$ nunca es primo para todos los $n>1$.