Son $x \cdot 0 = 0$, $x \cdot 1 = x$, y $-(-x) = x$ axiomas?

Question

Contexto: Los Anillos.

Se $x \cdot 0 = 0$ $x \cdot 1 = x$ $-(-x) = x$ axiomas?

Podría decirse que las tres preguntas en una, pero ya que todos ellos son propiedades de la multiplicación, voy a probar mi suerte...

Answer 1

Voy a asumir que esto es en el contexto de los anillos (por ejemplo, números reales, números enteros, etc). En este caso, el axioma de la definición de $0$ es que el $x + 0 = x$ para todos los $x$. $x*0 = 0$ es un resultado de esto ya hemos $x*0 = x*(0+0) = x*0 + x*0$, lo que implica $x*0 = 0$ (cancelación de uno de los $x*0$'s).

Supongo que para la segunda media de $x*1 = x$. Esta es una definición (axioma).

La tercera parte es una consecuencia de la definición de $-x$ siendo el elemento que $x + (-x) = 0$. Para luego tenemos a $(-x) + x$ también es cero, por lo que el $x$ es el negativo de $-x$.

Answer 2

La pregunta es más profunda de lo que inicialmente parece, y es realmente acerca de las estructuras algebraicas. La primera pregunta que tienes que hacerte es donde estamos trabajando:

En general, la adición y la multiplicación son definidos en una estructura, que en este caso es un conjunto (básicamente una colección de "cosas") con dos operadores llamamos adición (marcado $+$) y multiplicación (marcado $\cdot$ o $\times$ o $\ast$ o lo que sea). Si esta estructura tiene algunas propiedades, que a veces son llamados axiomas, entonces es llamado una unidad de anillo. Las propiedades son:

1. El conjunto es cerrado bajo el operador $+$. Es decir, si $a$$b$$R$,$a+b$$R$.
2. El conjunto tiene un miembro que nos marca como $0$. Tiene las propiedades que por cada $a$ en $R$, $a+0 = 0$ y $0+a = 0$.
3. La operación $+$ es conmutativa: $a+b = b+a$.
4. La operación $+$ es asociativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
5. Cada miembro tiene un inverso aditivo: para cada $a$ $R$ hay algo de $b$ $R$ tal que $a+b = 0$ (marcamos $b$$-a$).
6. El conjunto es cerrado bajo el operador $*$. Es decir, si $a$$b$$R$,$a*b$$R$.
7. El conjunto tiene un miembro que nos marca como $1$. Tiene las propiedades que por cada $a$ en $R$, $a*1 = a$ y $1*a = a$.
8. La operación $*$ es asociativa: $(a*b) * c = a * (b*c)$.
9. La multiplicación es distributiva sobre la suma: $a * (b+c) = a*b + a*c$$(a+b) * c = a*b + a*c$.

Si bien esta es una lista larga, y se introduce el operador $+$ que no está explícitamente mencionado en la pregunta, estas propiedades son bastante naturales. Por ejemplo, los enteros $\{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ todos sabemos y el amor, de hecho, formar un anillo. Los números reales también formar un anillo (de hecho forman un campo, lo que significa que incluso más propiedades).

En cuanto a tu pregunta, la identidad de $x * 1 = x$ (supongo que es lo que quiso decir) es de hecho un axioma - es axioma 7. Sin embargo, las otras dos identidades son el resultado de los otros axiomas.

Identidad de la primera: utilizamos los axiomas 2 y 9 para obtener $0 * x = (0+0) * x = 0*x + 0*x$ y, a continuación, añadiendo $-(0*x)$ (el inverso aditivo de a $0*x$, del axioma 5) a ambos lados, $0 = 0*x$.

Segunda identidad: Como se indicó en el axioma 5, $-(-x)$ es sólo una notación utilizada, que significa "el inverso aditivo de a $-x$". Para mostrar que $-(-x) = x$ tenemos que mostrar que $x$ es, de hecho, el inverso aditivo de a $-x$, o en otras palabras, que el $x + -x = 0$$-x + x = 0$. Pero eso es solo lo axioma 5 dice, así que hemos terminado.

Último punto: Usted podría estar preguntándose ¿por qué tenemos que ir y presentar, además de responder a una pregunta acerca de la multiplicación? Bien, sucede que sin adición de los otros dos identidades son simplemente no es verdad. Por ejemplo, si nos fijamos en los enteros positivos $\{1, 2, 3, \ldots\}$ sólo con la multiplicación, entonces no es $0$ no! En pocas palabras, esto es debido a que los enteros positivos no forman un anillo.

Answer 3

Deje $A$ ser un anillo (que voy a asumir conmutativa).

Sólo la segunda frase es un axioma: la multiplicación tiene una (seguramente único) elemento neutro, id est, $a \in A$ tal que $ax = xa = x$ por cada $x \in A$; se llama uno y su símbolo es $1$.

Los demás son consecuencias de los axiomas:

• La 3ª frase proviene de la existencia de un simétrica a cada elemento en el ring: para cada $x \in A$, hay un (único) elemento de $y \in A$ tal que $x + y = y + x = 0$. Se denota $–x$. A partir de esta igualdad, también viene de que el simétrico de a $y$ sólo puede ser $x$.

• De forma análoga a la multiplicación axioma anterior, además tiene un elemento neutro, un (único) número de $b$ tal que $x + b = b + x = x$ por cada $x \in A$; se llama zero y su símbolo es $0$. La primera frase se deduce mediante el inverso aditivo (para algunos $a$), la distributividad y multiplicativos asociatividad axiomas: $x · 0 = x · (a + (–a)) = xa + x(–a) = xa + (–xa) = 0$.

Answer 4

x*1 =x es axioma.

El resto no lo es.

Permítanme lápiz empuje el resto :D. ha sido un tiempo.

X*0
=x*0+0 ' adding 0 does no harm
=x*0+(x*0+(-(x*0))) ' 0 is the sum of x* 0 and it's additive inverse
=(x*0+x*0)+(-(x*0)) ' associativity.
=x*(0+0)+(-(x*0)) 'distributive
=x*(0)+(-(x*0)) '0+0 is 0
=x*0+(-(x*0)) '(0) is just 0
=0 ' the sum of x*0 and it's own additive inverse is 0

Aviso que me agregue a +(-(x*0)) significa agregar por el inverso aditivo de (x*0).

A partir de ahora me gustaría escribir +(-x) simplemente -. Así se define un problema de resta agregar por el inverso aditivo. (es esta la definición estándar de la resta?)

Ahora, vamos a hacer -(-x)

-(-x)
=-(-x)+0 'adding 0 does no harm
=-(-x)+(-x+x) '0 is (-x+x) by definition of -x.

Me pregunto si el axioma sólo especificar que sólo (x+ -x) es cero, entonces las cosas pueden ser más complicadas. Necesitaríamos el conmutativa axioma como refuerzo

=(-(-x)+(-x))+x ' by associative. 
=0+x ' the additive inverse of (-x) added by (-x) is 0
=x 'by definition of 0

En cierto modo me gusta este tipo de derivación ya que sigue el patrón de

Un=...=...=...=...=...C que es mejor que vaya a mitad de camino y, a continuación, utilizar la lógica implica materias.

Answer 5

Responder a lo que usted pidió, la pregunta es imprecisa porque no especificar la teoría de que están hablando. Para ello, además, debe definir los símbolos, la deducción de reglas... y axiomas.

Respondiendo a lo que probablemente quería preguntar, no. Esas son las propiedades que - y × tienen en el conjunto Z, no los axiomas. Se puede deducir de las propias operaciones.