¿Has encontrado este integral?

Question

Estoy tratando de determinar las propiedades de la siguiente integral:

$$p(t)=\int_{0}^{t} e^{\alpha(t-t')} f(t')dt', \hspace{1 cm} t>t'$$

Intentaría buscar en Google y leer más información sobre esta integral, pero no sé un nombre específico adecuado para ella. Parece ser un suavizado exponencial, un filtro, ¿transformada de Laplace? Estoy bastante seguro de que se encuentra ampliamente en física. Agradecería cualquier enlace o referencia a algún libro o artículo que contenga este tipo de integral.

Answer 1

Se puede expresar fácilmente como una transformada de Laplace:

$$ p(t) = e^{\alpha t} \int_0^t e^{- \alpha t'} f(t') \mathrm{d} t' = e^{\alpha t} F(\alpha)$$

donde $F(\alpha)$ es, de hecho, la transformada de Laplace de $f(t)$. También, al mirar una tabla de transformadas de Laplace, podemos ver que esta es la transformada de Laplace de $f(t)$ desplazado en el tiempo, más precisamente de $f(t'-t) \Theta (t'-t)$, al transformar usando la variable $t'$, donde $\Theta \left( \# \right)$ es la función escalón de Heaviside.

En lo que respecta al significado físico, quizás se necesita un poco de contexto. ¿De dónde surgió esta integral?