Sea $H$ un módulo de Hilbert $C^*$ sobre algún álgebra $C^*$ $A$, y considere un submódulo cerrado $M\subseteq H$. Entonces es bien sabido que $M$ no necesariamente es complementable ortogonalmente en $H. Es decir, no necesariamente tenemos (como se tiene cuando $A=\mathbb{C}$) la relación
$$H\cong M\oplus M^{\perp}.$$
Como ejemplo de este fenómeno, se puede tomar $A = C(\mathbb{R})$, las funciones continuas $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$, se toma $H = A$ como el módulo de Hilbert con el producto escalar valorado en $A$ dado por $(a,b) = a^*b$, y se toma $M$ como el submódulo cerrado de funciones en $A$ que se anulan en $0$.
Sin embargo, noté en este caso que todavía tenemos que $M^{\perp\perp}\oplus M^{\perp} = H\oplus\{0\}\cong H$.
Pregunta: ¿Es siempre cierto que para un submódulo cerrado $M$ de $H$, tenemos $H = M^\perp\oplus M^{\perp\perp}$?
