¿Cómo mostrar $A\cup(A\cap B) = A$ usando propiedades de conjuntos

Question

Tengo dificultades para demostrar esta identidad simple y natural de conjuntos. Lo que hago es dar vueltas y más vueltas en círculos:

$$A\cup( A\cap B) = (A\cup A) \cap (A\cup B)$$ $$= A \cap(A\cup B)$$

¿Y ahora qué? Aplico la propiedad distributiva nuevamente y llego a la primera expresión. ¿Cómo puedo mostrar esto usando propiedades de conjuntos (distributiva, idempotente, asociativa, de Morgan, etc.)?

Answer 1

Suponga que $A$ y $B$ son subconjuntos de algún conjunto universal $X$. Entonces

$$\begin{align*} A\cup(A\cap B)&=(\color{red}A\cap X)\cup(\color{red}A\cap B)\\ &=\color{red}A\cap(X\cup B)\\ &=A\cap X\\ &=A\;. \end{align*}$$

Answer 2

Respuesta 1. Claramente $A \subseteq A\cup (A\cap B).$
Para la conversa, Nota que $\color{maroon}A \subseteq A$ y $\color{lime}{A\cap B} \subseteq A$. Entonces $\color{maroon}A\cup \color{lime}{(A\cap B)} \subseteq A.

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Respuesta 2. Si $x\in A$, claramente $x\in A\cup (A\cap B).$
Deja $x\in A\cup (A\cap B).$ Entonces o $\color{red}{x\in A}$ o $\color{blue}{x\in (A\cap B)}.$ El azul significa $\color{blue}{x\in A},$ y $\color{blue}{x\in B}.$ Así que en ambos casos (azul y rojo) tenemos $x\in A.

Answer 3

$A∪(A∩B)=(A∪A)∩(A∪B)$=$A∩(A∪B)$=$A$, la primera igualdad utilizando la ley de distribución y la última igualdad ya que $A\subset A∪B$.