$M=\{a+b\sqrt{2}: a,b \in \mathbb{Q} \}$ y $N=\{c+d\sqrt{3}: c,d \in \mathbb{Q}\}$. $M \cap N \subseteq \mathbb{Q}$.

Question

Sea $M=\{a+b\sqrt{2}: a,b \in \mathbb{Q} \}$ y $N=\{c+d\sqrt{3}: c,d \in \mathbb{Q}\}.

Demuestra que $M \cap N \subseteq \mathbb{Q}$.

Answer 1

Lo que tenemos que demostrar es lo siguiente:

Si $a+b\sqrt 2 = c+d\sqrt 3$ con $a,b,c,d \in \mathbb Q$, entonces $b = d = 0$.

$$\begin{align} a+b\sqrt 2 & = c+d\sqrt 3 \\ (a-c)^2 & = (d\sqrt 3 - b\sqrt 2)^2 \\ & = 3d^2-2bd\sqrt 6 + 2b^2 \end{align}$$

Entonces $$bd \sqrt 6 = \frac12(3d^2+2b^2-(a-c)^2)$$ es racional. Sabemos que $\sqrt 6$ es irracional, por lo tanto debemos tener $bd = 0$. Supongamos $b = 0$. Entonces $a = c + d\sqrt 3$, por lo que $d\sqrt 3$ es racional, luego $d = 0$. De manera similar, $d = 0 \implies b = 0$.

Por lo tanto $b = d = 0$.

Answer 2

Sea $x \in M \cap N$.

Entonces $x \in M$ y $x \in N$.

$x \in M$ significa que $x = a + b\sqrt{2}$ para algunos $a, b \in \mathbb{Q}$.

Además, $x \in N$ significa que $x = c + d\sqrt{3}$ para algunos $c, d \in \mathbb{Q}$.

Por lo tanto, para $x \in M \cap N$, lo siguiente debe ser cierto:

$$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{3}$$

para algunos $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$.

La igualdad se cumple en $$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{3}$$

si y solo si

$$b = d = 0$$

y

$$a = c.$$

Answer 3

Dado $M=\mathbb{Q(\sqrt 2)}$ y $N=\mathbb{Q(\sqrt 3)}$, donde $\mathbb{Q(\sqrt 2)}$ y $\mathbb{Q(\sqrt 3)}$ son las extensiones de campo más pequeñas de $\mathbb{Q}$ que contienen tanto ($\mathbb{Q}$ y $\sqrt 2$) como ($\mathbb{Q}$ y $\sqrt 3$) respectivamente.

Consideremos $M\cap N$. Si $x\in M\cap N,$ entonces $x\in M$ y $x\in N$, Asi que

$a+b\sqrt 2=r+s\sqrt 3,$ $ a,b,r,s\in \mathbb{Q}$

$\implies a=r$ y $b=s=0$ porque b,s $\in \mathbb{Q}$. La única otra posibilidad era que $b=\sqrt 3$ y $s=\sqrt 2$, lo cual violaría el hecho de que b,s $\in \mathbb{Q}$. Así que $x=a=r$ y por lo tanto $x\in \mathbb{Q}$, demostrando que $M\cap N \subseteq\mathbb{Q}$. $\square$