¿Por qué se utiliza el teorema del valor medio aquí?

Question

Realmente estoy luchando por entender el teorema del valor medio. He tomado cálculo hasta cálculo avanzado, y un montón de cursos de análisis. Sin embargo, no lo "entiendo". Claro, conozco la declaración, pero no sé cómo usarla. Aquí hay un ejemplo.

Teorema 2.47. Supongamos que $\Omega$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ y $G: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ es un difeomorfismo $C^1$.

a. Si $f$ es una función medible de Lebesgue en $G(\Omega)$, entonces $f \circ G$ es medible de Lebesgue en $\Omega$. Si $f \geq 0$ o $f \in L^1(G(\Omega), m)$, entonces $$ \int_{G(\Omega)} f(x) d x=\int_{\Omega} f \circ G(x)\left|\operatorname{det} D_x G\right| d x . $$ b. Si $E \subset \Omega$ y $E \in \mathcal{L}^n$, entonces $G(E) \in \mathcal{L}^n$ y $m(G(E))=\int_E\left|\operatorname{det} D_x G\right| d x$.

Prueba. Es suficiente considerar funciones y conjuntos medibles de Borel. Dado que $G$ y $G^{-1}$ son continuos, no hay problemas de medibilidad en este caso, y el caso general sigue como en la demostración del Teorema $2.42$. Un poco de notación: Para $x \in \mathbb{R}^n$ y $T=\left(T_{i j}\right) \in G L(n, \mathbb{R})$, definimos $$ \|x\|=\max _{1 \leq j \leq n}\left|x_j\right|, \quad\|T\|=\max _{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n\left|T_{i j}\right| $$ Tenemos entonces que $\|T x\| \leq\|T\|\|x\|$, y $\{x:\|x-a\| \leq h\}$ es el cubo de longitud lateral $2 h$ centrado en $a$.

Sea $Q$ un cubo en $\Omega$, digamos $Q=\{x:\|x-a\| \leq h\}$. Por el teorema del valor medio, $g_j(x)-g_j(a)=\sum_j\left(x_j-a_j\right)\left(\partial g / \partial x_j\right)(y)$ para algún $y$ en el segmento de línea que une $x$ y $a$, de modo que para $x \in Q,\|G(x)-G(a)\| \leq h\left(\sup _{y \in Q}\left\|D_y G\right\|\right)$. En otras palabras, $G(Q)$ está contenido en un cubo de longitud lateral $\sup _{y \in Q}\left\|D_y G\right\|$ veces la de $Q$, de modo que por el Teorema $2.44, m(G(Q)) \leq\left(\sup _{y \in Q}\left\|D_y G\right\|\right)^n m(Q)$. Si $T \in G L(n, \mathbb{R})$, podemos aplicar esta fórmula con $G$ reemplazado por $T^{-1} \circ G$ junto con el Teorema $2.44$ para obtener $$ \begin{aligned} m(G(Q)) &=|\operatorname{det} T| m\left(T^{-1}(G(Q))\right) \\ & \leq|\operatorname{det} T|\left(\sup _{y \in Q}\left\|T^{-1} D_y G\right\|\right)^n m(Q) \end{aligned} $$

¿Alguien podría ayudarme a entender intuitivamente por qué se utiliza el teorema del valor medio aquí? Quiero comprende la aplicación del teorema profundamente y reflexionar sobre ello hasta que se convierta en una aplicación clara y obvia. Debe ser un resultado muy fundamental y poderoso si es la razón por la que funciona el teorema de Taylor. ¿Podría alguien compartir conmigo su intuición al respecto?

Answer 1

Para mí, el Teorema del Valor Medio es importante porque te permite usar hechos sobre la derivada de una función para inferir hechos sobre la propia función.

Por ejemplo: si una función es constante, su derivada es cero. Eso se deduce de la definición. Pero la recíproca requiere el TVM. La prueba es que $f(x) - f(a) = f'(c)(x-a)$ para algún $c$ entre $x$ y $a$, por lo que si $f'(c) = 0$ para todo $c$, $f(x) = f(a)$ para todo $x$. Esta prueba también revela que este hecho es solo una recíproca parcial: $f$ es constante en cada componente del dominio. Implícitamente asumimos que para cada $x$, $f$ era continua y diferenciable entre $x$ y $a$.

En esta prueba, el autor quiere decir que la medida de $G(Q)$ (hechos sobre una función) está controlada por la medida de $Q$ y el supremo sobre $Q$ de $\Vert D_yG \Vert$ (hechos sobre la derivada). Aquí algunos de los detalles que se omiten: Dados $x$ y $a$, define $\gamma(t) = (1-t)a + tx$. Entonces $\gamma(0) = a$, $\gamma(1) = x$, y $\gamma'(t) = x-a$ para todo $t$. Sea $h = g_j(\gamma(t))$. Entonces $h(1) - h(0) = h'(c)$ para algún $c$ entre $0$ y $1$. Sea $y = \gamma(c)$. Por la regla de la cadena, $$ g_j(x) - g_j(a) = h(1) - h(0) = h'(c) = \sum_{k} \frac{\partial g_j}{\partial x_k}(y)(x_k-a_k) $$ Por lo tanto, \begin{align*} |g_j(x) - g_j(a)| &= \left| \sum_{k} \frac{\partial g_j}{\partial x_k}(y)(x_k-a_k) \right| \\&\leq \sum_{k} \left| \frac{\partial g_j}{\partial x_k}(y)(x_k-a_k) \right| = \sum_{k} \left| \frac{\partial g_j}{\partial x_k}(y)\right| \left|x_k-a_k \right| \\&\leq \sum_{k}\left| \frac{\partial g_j}{\partial x_k}(y)\right| \, \left\Vert x-a \right\Vert \leq h \sum_{k}\left| \frac{\partial g_j}{\partial x_k}(y)\right| \\&\leq h \left\Vert D_y G \right\Vert \\&\leq h \sup_{y \in Q} \left\Vert D_y G \right\Vert \end{align*} El $y$ en la penúltima línea es el $y$ específico que satisface la ecuación del TVM en la coordenada $j$; el $y$ en la última línea es un $y$ genérico que abarca todo $Q$. Esto hace que el último límite sea independiente de $j$; por lo tanto, $$ \left\Vert G(x) - G(a) \right\Vert \leq h \sup_{y \in Q} \left\Vert D_y G \right\Vert $$