¿Qué son los corchetes angulares en Álgebra Lineal?

Question

En mi libro de álgebra lineal, tienen corchetes angulares alrededor de dos vectores diferentes, por lo que se ve así: $\langle\mathbf{u_2},\mathbf{v}_1\rangle$. No utilizan corchetes angulares para definir vectores, sino que utilizan paréntesis regulares en su lugar.

Para el proceso de Gram-Schmidt, definen

$\mathbf{v}_1 = \mathbf{u}_1 = (1,1,1)$

y

$\mathbf{v}_2 = \mathbf{u}_2 = \mathbf{u}_2 - \dfrac{\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{v}_1\rangle}{\|\mathbf{v}_1\|^2} \mathbf{v}_1$

donde $\mathbf{u}_2 = (0,1,1)$

Concluyen que esa fórmula es igual a

$(0,1,1) - \dfrac{2}{3}(1,1,1)$.

¿Qué operación realizan los corchetes angulares para obtener ese resultado?

Answer 1

Los corchetes angulados representan un producto interno. El más conocido es el producto escalar o el producto punto. Si ${\bf u} = (u_1,u_2,u_3)$ y ${\bf v} = (v_1,v_2,v_3)$, entonces el producto punto está dado por $$\langle {\bf u},{\bf v} \rangle = u_1v_1 + u_2v_2+u_3v_3$$ Tiene muchas propiedades útiles. Primero, $\langle {\bf u},{\bf u} \rangle = \|{\bf u}\|^2$, y segundo si ${\bf u}$ y ${\bf v}$ son ambos diferentes de cero entonces $\langle {\bf u},{\bf v}\rangle = 0$ si y solo si ${\bf u}$ y ${\bf v}$ son ortogonales. En general:

$$\langle {\bf u}, {\bf v} \rangle = \|{\bf u}\| \|{\bf v}\| \cos\theta$$

donde $\theta$ es el ángulo entre ${\bf u}$ y ${\bf v}$. Esta idea puede ser generalizada. Notar que $\langle {\bf u},{\bf v} \rangle = {\bf u}E{\bf v}^{\top}$, donde $E$ es la matriz identidad de 3-por-3 y ${\bf u}$ y ${\bf v}$ están siendo considerados como matrices de 1-por-3. Para cualquier matriz de 3-por-3, digamos $M$, podemos definir $\langle {\bf u},{\bf v}\rangle_M := {\bf u}M{\bf v}^{\top}$. Diferentes matrices dan lugar a diferentes $\langle {\bf u},{\bf v}\rangle_M$. Usualmente asumimos que $M$ es una matriz definida positiva.

Answer 2

Como dijo Fly by Night, los corchetes angulares pueden representar un producto interno, como se menciona en Wikipedia aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Sin embargo, también se pueden usar para contener un conjunto ordenado. Esto se puede ver en la sección de conjunto ordenado de la página de notación vectorial de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_notation#Ordered_set_notation

Tu ejemplo es para el primer caso de uso, pero quería asegurarme de que cualquier otra persona que busque información sepa que también se pueden utilizar para enumerar elementos de un vector.