Pregunta de geometría en 3D

Question

En Geometría tridimensional, si el ángulo formado por el segmento de línea $OP$ con los ejes $X, Y, Z$ está en una proporción de $1:2:3$, ¿cuál es el ángulo formado por el segmento de línea con el eje $Y$?

Mi Solución:

Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos formados por la línea con los ejes $X, Y, Z$ respectivamente. Entonces

$$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma = 1$$

Ahora dado que $\alpha = \theta$, $\beta = 2\theta$ y $\gamma = 3\theta$

Entonces $\cos^2 \theta+\cos^2 2\theta+\cos^2 3\theta = 1$, o $$2\cos^2 \theta+2\cos^2 2\theta+2\cos^2 3\theta = 2,$$ o $$1+\cos 2\theta+\cos^2 2\theta+1+\cos 6\theta = 2,$$ o $$1+\cos 2\theta+2\cos^2 2\theta+1+4\cos^3 2\theta-3\cos 2 \theta = 2.$$

Sea $\cos 2 \theta = y$, entonces

$$y+2y^2+4y^3-3y = 0,$$

$$4y^3+2y^2-2y = 0,$$

$$2y(2y^2-y-1) = 0.$$

Tal vez me haya perdido algo, pero siento que este método es muy tedioso.

¿Alguien podría explicarme un método mejor?

Gracias.

Answer 1

Decimos que el ángulo más pequeño es $\theta$

por lo tanto $\theta+2\theta +3\theta= 180^\circ$.

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a $180^\circ$. por lo tanto $\theta=30^\circ$ (ya que $6\theta=180^\circ=> \theta=\dfrac{180}{6}=30^\circ$)

por lo tanto el ángulo formado con el eje y es $60^\circ$.