Inversa de una matriz particular $n\times n$

Question

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ donde los elementos están definidos como $a(i,i)=2 ,a(i+1,i)=a(i,i+1)=-1$ para todo $i=1 \ldots n-1$. Además $a(i,j)=0$ en otro caso.

Encuentra la inversa de la matriz.

¿Existe alguna manera elegante de encontrar la inversa completamente?

Answer 1

Para su $A$ en particular, creo que la forma más fácil de encontrar su inverso es mediante una simple inspección. Experimentos computacionales sugieren que la entrada $(i,j)$ de $A^{-1}$ debería ser $\frac{1}{n+1}(n+1-\max(i,j))\min(i,j)$, y puedes verificar si esto es correcto.

Más generalmente, como señala la otra respuesta, su $A$ es un caso especial de una matriz tridiagonal simétrica y se conoce una fórmula explícita para su inverso. De hecho, su $A$ es más agradable -- es una matriz Toeplitz tridiagonal simétrica. Los inversos de matrices de esta clase pueden expresarse en términos de polinomios de Chebyshev de segunda clase. Consulte, por ejemplo, el corolario 4.2 de

C.M. da Fonseca and J. Petronilho, Explicit inverses of some tridiagonal matrices, Álgebra lineal y sus aplicaciones, 325(2001): 7-21.

Answer 2

Ver:

G.Y.Hu y R.F.O’Connell, Inversión analítica de matrices tridiagonales simétricas. J. Phys. A: Math. Gen. {\bf 29}(1996), pp.1511–1513.