Para romper el enlace, el movimiento de las moléculas debe intensificarse, lo que aumentaría la temperatura del agua. Por eso pienso que no debería haber un periodo de temperatura constante.
En realidad, la temperatura no se trata realmente de la "intensidad del movimiento" de las partículas en un sistema. Esta es la razón detrás de tu confusión.
Piensa en cómo medimos la temperatura: usamos un termómetro. El termómetro no puede detectar directamente el movimiento de partículas en el sistema con el que está en contacto. Lo que el termómetro hace es ceder calor al sistema, o absorber calor del sistema. Cuando finalmente se alcanza el equilibrio, donde las tasas de flujo de calor del termómetro al sistema y del sistema al termómetro son iguales, entonces la cantidad de energía térmica restante en el termómetro nos permite inferir la temperatura.
Cuando dos sistemas (o dos fases dentro de un sistema) están en equilibrio térmico entre sí, los definimos como teniendo la misma temperatura (independientemente de lo que realmente esté ocurriendo a nivel microscópico dentro de cada sistema). Cuando un sistema tiene tendencia a perder calor hacia el otro, el primero, por definición, tiene una temperatura más alta que el segundo. Solo porque la temperatura se define de esta manera, es que un termómetro tiene la capacidad de medir la temperatura de manera confiable.
El agua que está en su punto de ebullición está en equilibrio con el agua que acaba de hervir. Si el agua sigue hirviendo, el calor que hace que eso ocurra no proviene del vapor, sino del elemento calefactor. Si retiras una tetera de la estufa, tienes una situación en la que el agua líquida no perderá calor hacia el vapor, ni el vapor perderá calor hacia el agua líquida. El agua no continuará hirviendo, ya que ya no hay entrada de energía para romper enlaces. El vapor tampoco se condensará espontáneamente en agua, porque hacerlo liberaría energía y no hay a dónde ir esa energía. Así que la proporción del agua en el sistema que es líquida, y la proporción que es gaseosa, permanecerá constante a menos que el sistema esté interactuando de alguna manera con su entorno. Internamente, el sistema está en equilibrio. Esto demuestra que el agua líquida y el vapor tienen la misma temperatura, aunque el vapor tiene más energía por molécula que el agua líquida.
De manera similar, cualquier transición de fase de primer orden (es decir, una transición de fase discontinua que implica un calor latente) es una transición de fase a temperatura constante.