Encuentra $\lim_{n\to\infty} ((n!)^{1/n})$. La pregunta parecía bastante simple al principio, y luego me di cuenta de que no estaba seguro de cómo manejar esto correctamente en absoluto. Mi intento: tomar el logaritmo, $$\lim_{n\to\infty} \ln((n!)^{1/n}) = \lim_{n\to\infty} (1/n)\ln(n!) = \lim_{n\to\infty} (\ln(n!)/n)$$ Aplicando la regla de L'Hopital: $$\lim_{n\to\infty} [n! (-\gamma + \sum(1/k))]/n! = \lim_{n\to\infty} (-\gamma + \sum(1/k))= \lim_{n\to\infty} (-(\lim(\sum(1/k) - \ln(n)) + \sum(1/k)) = \lim_{n\to\infty} (\ln(n) + \sum(1/k)-\sum(1/k)) = \lim_{n\to\infty} (\ln(n))$$ Continué expandiendo el $\ln(n)$ en forma de Maclaurin $$\lim_{n\to\infty} (n + (n^2/2)+...) = \infty$$ Dado que hice el $\ln$ al principio, procedí a elevado a la potencia de infinito $$= e^\infty = \infty$$
¿Estoy en lo correcto en cómo abordé esto o simplemente no estoy en el camino correcto? Sé que diverge, solo quería hacer mi mejor esfuerzo para mostrarlo explícitamente.
