Calculando el límite $\lim((n!)^{1/n})$

Question

Encuentra $\lim_{n\to\infty} ((n!)^{1/n})$. La pregunta parecía bastante simple al principio, y luego me di cuenta de que no estaba seguro de cómo manejar esto correctamente en absoluto. Mi intento: tomar el logaritmo, $$\lim_{n\to\infty} \ln((n!)^{1/n}) = \lim_{n\to\infty} (1/n)\ln(n!) = \lim_{n\to\infty} (\ln(n!)/n)$$ Aplicando la regla de L'Hopital: $$\lim_{n\to\infty} [n! (-\gamma + \sum(1/k))]/n! = \lim_{n\to\infty} (-\gamma + \sum(1/k))= \lim_{n\to\infty} (-(\lim(\sum(1/k) - \ln(n)) + \sum(1/k)) = \lim_{n\to\infty} (\ln(n) + \sum(1/k)-\sum(1/k)) = \lim_{n\to\infty} (\ln(n))$$ Continué expandiendo el $\ln(n)$ en forma de Maclaurin $$\lim_{n\to\infty} (n + (n^2/2)+...) = \infty$$ Dado que hice el $\ln$ al principio, procedí a elevado a la potencia de infinito $$= e^\infty = \infty$$

¿Estoy en lo correcto en cómo abordé esto o simplemente no estoy en el camino correcto? Sé que diverge, solo quería hacer mi mejor esfuerzo para mostrarlo explícitamente.

Answer 1

Al reorganizar los términos, podemos ver que $$(n!)^2=[1\cdot n][2\cdot (n-1)][3\cdot (n-2)] \cdots [(n-1)\cdot 2][n\cdot 1].$$ Cada uno de los $n$ productos $(k+1)\cdot (n-k)$, para $0\le k

Answer 2

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} (n!)^{1/n} &=\lim_{n\to\infty} \exp(\tfrac{1}{n} \ln n!)\\ &= \lim_{n\to\infty} \exp[\tfrac{1}{n} (\ln 1+\ln 2+\cdots + \ln n)]\\ &\ge \lim_{n\to\infty}\exp \left[ \frac{1}{n} \int_1 ^n \ln x dx\right]\\ &=\lim_{n\to\infty} \exp \frac{n\ln n -n+1}{n} \end{aligned} $$

y el último lado de la desigualdad anterior diverge.

Answer 3

Tomando $\log$ y usando Stolz-Cesàro: $$ \log\lim_{n\to\infty}n!^{1/n}= \lim_{n\to\infty}\log n!^{1/n}= \lim_{n\to\infty}{\log 1+\cdots+\log n\over n}= \lim_{n\to\infty}{\log(n+1)\over(n+1)-n}= \lim_{n\to\infty}\log(n+1)=\infty,$$ así que $\lim n!^{1/n}=\infty$.

Answer 4

Supongamos sin pérdida de generalidad que $n$ es par.

Claramente, $$n!=1\cdot2\cdots n > \left(\frac{n}{2}+1\right)\left(\frac{n}{2}+2\right)\cdots n> \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}$$

¿Puedes continuar desde aquí?

Answer 5

Como sugirió Martín-Blas Pérez Pinilla, usar la aproximación de Stirling $$n!\simeq\sqrt{2 \pi } e^{-n} n^{n+\frac{1}{2}}$$ ayuda mucho. Elevar a la potencia $\frac{1}{n}$ resulta en $$(n!)^{\frac{1}{n}}\simeq\ (2 \pi n)^{\frac{1}{n}} \frac{n}{e}$$ Para valores grandes de $n$, el primer término tiende a $1$ y por lo tanto $(n!)^{\frac{1}{n}}$ se comporta como $\frac{n}{e}$

Una mejor aproximación se puede obtener usando series de Taylor; escribiendo el comienzo de la expansión como $$(n!)^{\frac{1}{n}}\simeq\frac{n}{e}+\frac{\log (2 \pi n)}{2 e}$$ lo cual muestra cómo se comportaría $$\frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}$$ para valores grandes de $n$.