Las propiedades de un grupo con dicho operador

Question

Define un operador asociativo cerrado # en un conjunto S, si a#b#a=b para cualquier a, b en S, ¿cuál es correcto? 1, # es conmutativo. 2, S es un grupo. 3, S es finito.

Intenté probar si es conmutativo pero no puedo entenderlo. Pero creo que no hay condiciones para probar que es finito.

Answer 1

Olvidemos los signos de dólar y simplemente escribamos con yuxtaposición.

De $aba=b$ obtenemos $aa=abab=bb$. Llamemos al valor al que todo se eleva al cuadrado "$e$". Es una identidad: $ae=aaa=ea=a$ para todo $a$, utilizando la hipótesis. Así que al menos es un monoide.

Además, $aa=aea=e$, por lo que cada elemento es su propio inverso.

Esto también implica $abab=e$, entonces $aba=b$, luego $ab=ba$ después de multiplicar a la derecha.

De hecho, obtienes una operación de grupo conmutativa.

Por supuesto, no tiene por qué ser finito: simplemente toma un producto infinito de grupos de orden 2 como contraejemplo.

Answer 2

Esto implica que la operación es conmutativa. Primero, note que al elegir $ b = a $, obtiene que $ a ^ 3 = a \# a \# a = a $ para cualquier $ a $. En particular, aplique esta observación al elemento $ a \# b $:

$$ a \# b = (a\# b) \# (a\# b) \# (a \#b) = (a \# b \# a)\#(b \#a \# b) = b \# a $$