¿Cómo analizar este circuito de amplificador operacional?

Question

Entonces con el siguiente circuito (actualmente estudiando para un examen):

Puedo obtener V- solo a través del divisor de voltaje compuesto por 2R y R en la terminal no inversora. Sin embargo, una vez allí, no estoy seguro de cómo obtener Vout solo por la resistencia de 3R que va desde Vout y tierra. ¿Puedo tratar la resistencia del bucle de retroalimentación, R2, y la resistencia de 3R, como un divisor de voltaje que me da Vout en términos de V-? Si es así, ¿qué pasa con la corriente que sale del amplificador operacional?

Answer 1

Supuestos sobre el amplificador operacional:

• corriente de entrada cero
• ganancia infinita (V+ = V-)
• resistencia de salida cero
• no hay restricciones de voltaje de entrada/salida

La primera parte es un simple divisor de voltaje:

$$V_+ = V_{in}\frac{R}{3R} = \frac{V_{in}}{3}$$

La otra parte también es un divisor de voltaje con resistencias iguales:

$$ V_- = \frac{V_{out}}{2}$$

Dado que V+ = V-:

$$ V_{out} = \frac{2 V_{in}}{3} $$

Answer 2

Primero, presentaré un método que utiliza Mathematica para resolver este problema. Cuando estaba estudiando esto, usaba el método todo el tiempo (sin usar Mathematica, por supuesto).

Bueno, estamos tratando de analizar el siguiente circuito de amplificador operacional:

simular este circuito - Esquemático creado utilizando CircuitLab

Cuando usamos y aplicamos LCK, podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$ \begin{cases} \text{I}_1=\text{I}_2\\ \\ 0=\text{I}_3+\text{I}_4\\ \\ \text{I}_5=\text{I}_4+\text{I}_6\\ \\ \text{I}_1+\text{I}_6=\text{I}_2+\text{I}_3+\text{I}_5 \end{cases}\tag1 $$

Cuando usamos y aplicamos la ley de Ohm, podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$ \begin{cases} \text{I}_1=\frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}\\ \\ \text{I}_2=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}\\ \\ \text{I}_3=\frac{\text{V}_2}{\text{R}_3}\\ \\ \text{I}_4=\frac{\text{V}_2-\text{V}_3}{\text{R}_4}\\ \\ \text{I}_5=\frac{\text{V}_3}{\text{R}_5} \end{cases}\tag2 $$

Sustituyendo \$(2)\$ en \$(1)\$, para obtener:

$$ \begin{cases} \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}\\ \\ 0=\frac{\text{V}_2}{\text{R}_3}+\frac{\text{V}_2-\text{V}_3}{\text{R}_4}\\ \\ \frac{\text{V}_3}{\text{R}_5}=\frac{\text{V}_2-\text{V}_3}{\text{R}_4}+\text{I}_6\\ \\ \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}+\text{I}_6=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_2}{\text{R}_3}+\frac{\text{V}_3}{\text{R}_5} \end{cases}\tag3 $$

Ahora, utilizando un amplificador operacional ideal, sabemos que:

$$\text{V}_x:=\text{V}_+=\text{V}_-=\text{V}_1=\text{V}_2\tag4$$

Entonces podemos reescribir la ecuación \$(3)\$ de la siguiente manera:

$$ \begin{cases} \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_x}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_x}{\text{R}_2}\\ \\ 0=\frac{\text{V}_x}{\text{R}_3}+\frac{\text{V}_x-\text{V}_3}{\text{R}_4}\\ \\ \frac{\text{V}_3}{\text{R}_5}=\frac{\text{V}_x-\text{V}_3}{\text{R}_4}+\text{I}_6\\ \\ \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_x}{\text{R}_1}+\text{I}_6=\frac{\text{V}_x}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_x}{\text{R}_3}+\frac{\text{V}_3}{\text{R}_5} \end{cases}\tag5 $$

Ahora, podemos resolver la función de transferencia:

$$\mathcal{H}:=\frac{\text{V}_3}{\text{V}_\text{i}}=\frac{\text{R}_2\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)}{\text{R}_3\left(\text{R}_1+\text{R}_2\right)}\tag6$$

Donde utilicé el siguiente código de Mathematica:

In[1]:=Clear["Global`*"];
V1 = Vx;
V2 = Vx;
FullSimplify[
 Solve[{I1 == I2, 0 == I3 + I4, I5 == I4 + I6, 
   I1 + I6 == I2 + I3 + I5, I1 == (Vi - V1)/R1, I2 == V1/R2, 
   I3 == V2/R3, I4 == (V2 - V3)/R4, I5 == V3/R5}, {I1, I2, I3, I4, I5,
    I6, Vx, V3}]]

Out[1]={{I1 -> Vi/(R1 + R2), I2 -> Vi/(R1 + R2), 
  I3 -> (R2 Vi)/((R1 + R2) R3), I4 -> -((R2 Vi)/((R1 + R2) R3)), 
  I5 -> (R2 (R3 + R4) Vi)/((R1 + R2) R3 R5), 
  I6 -> (R2 (R3 + R4 + R5) Vi)/((R1 + R2) R3 R5), 
  Vx -> (R2 Vi)/(R1 + R2), V3 -> (R2 (R3 + R4) Vi)/((R1 + R2) R3)}}

Mi ecuación también fue confirmada utilizando LTspice.

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Ahora, utilizando \$\text{R}_x:=\text{R}_3=\text{R}_4\$, \$\text{R}_1=2\text{R}\$ y \$\text{R}_2=\text{R}\$ podemos simplificar la función de transferencia de la siguiente manera:

$$\mathcal{H}=\frac{\text{R}\left(\text{R}_x+\text{R}_x\right)}{\text{R}_x\left(2\text{R}+\text{R}\right)}=\frac{\text{R}\left(2\text{R}_x\right)}{\text{R}_x\left(3\text{R}\right)}=\frac{2\text{R}\text{R}_x}{3\text{R}\text{R}_x}=\frac{2}{3}\tag7$$

Ejecutando el código nuevamente con los valores de tus resistores, obtenemos:

In[2]:=Clear["Global`*"];
V1 = Vx;
V2 = Vx;
R1 = 2 R;
R2 = R;
R3 = Rx;
R4 = Rx;
R5 = 3 R;
FullSimplify[
 Solve[{I1 == I2, 0 == I3 + I4, I5 == I4 + I6, 
   I1 + I6 == I2 + I3 + I5, I1 == (Vi - V1)/R1, I2 == V1/R2, 
   I3 == V2/R3, I4 == (V2 - V3)/R4, I5 == V3/R5}, {I1, I2, I3, I4, I5,
    I6, Vx, V3}]]

Out[2]={{I1 -> Vi/(3 R), I2 -> Vi/(3 R), I3 -> Vi/(3 Rx), I4 -> -(Vi/(3 Rx)),
   I5 -> (2 Vi)/(9 R), I6 -> 1/9 (2/R + 3/Rx) Vi, Vx -> Vi/3, 
  V3 -> (2 Vi)/3}}

Answer 3

En pocas palabras, se trata de un amplificador no inversor escalado. Constá de dos dispositivos en cascada: divisor de voltaje y amplificador no inversor. Esta conexión tiene sentido en el circuito de un amplificador diferencial de op-amp donde se utiliza para igualar la ganancia en ambas entradas.

Si quieres decirlo de una manera más intrigante, dos divisores de voltaje - "recto" (2R y R) y "invertido" (R2, R2 y el op-amp) están en cascada. Por lo tanto, la proporción total es R/(2R + R) x (R2 + R2)/R2 = 2/3... y en consecuencia, el voltaje de salida es Vin.2/3.

La resistencia 3R sirve como una carga consumiendo una corriente IL = Vout/3R... pero no afecta el voltaje de salida.