Sea $R$ un anillo conmutativo, y sean $A$ y $B$ módulos a la derecha sobre $R$. Supongamos que las siguientes dos secuencias son exactas: $$ R^u\stackrel{Q}{\to} R^s\stackrel{\pi}{\to}A\to 0 \\ R^r\stackrel{f}{\to} A\to B\to 0 $$ y que existe un mapa $P:R^r\to R^s$ tal que $\pi\circ P=f$. Además, $P$ y $Q$ pueden considerarse como matrices de dimensiones apropiadas (y se multiplican a la derecha. Que sean módulos a la derecha y la multiplicación de matrices sea a la derecha no es demasiado importante para el problema, pero estoy demasiado cansado para convertirlo a la izquierda)
(Lo siento, no sé cómo dibujar diagramas conmutativos aquí, pero he incluido una imagen del diagrama conmutativo.)
Pregunta: ¿Cuál es una matriz de presentación para $B$?
Pregunta secundaria: ¿Hay alguna forma de obtener una fórmula para $f$?
Se sabe: $A=R^s/R^uQ$, es decir, $Q$ es una matriz de presentación para $A$, y $B=A/f(R^r)=A/\pi(R^rP)$. Combinando estos dos hechos, obtenemos $$B=\dfrac{R^s/R^uQ}{\pi(R^rP)}$$
Sospecho que $B$ está presentado por la matriz en bloque $$V=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix} $$ y $R^r\oplus R^u\stackrel{V}{\to}R^s\to B\to 0$ es exacto. Mi razonamiento es el siguiente: $B=A/f(R^r)$ y $f=\pi\circ P$. $A$ tiene $s$ generadores y $u$ relaciones con la matriz de presentación $Q$. Así que $B$ tiene como máximo $s$ generadores. Dado $x\in R^r$, $xP$ da $f(x)$ en términos de los generadores de $A$. Entonces $R^rP$ proporciona $r$ relaciones para $B$. Pero estas no son suficientes, se pueden simplificar aún más con las relaciones de $R^uQ$. Así que $B=R^s/(R^rP)/(R^uQ)=R^s/(R^{r+u}V)$. No sé si esto tiene sentido. Me siento muy tonto en este momento. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
