Una condición de tipo doblemente transitiva para el grupo de Galois de extensiones normales

Question

Sea $M|F$ una extensión normal. Sean $a,a'\in M$ raíces del polinomio minimal $min(F,a)$ y $b,b'\in M$ raíces del polinomio minimal $min(F,b)$. ¿Existe un $\sigma\in Gal(M|F)$ tal que $\sigma(a)=a'$ y $\sigma(b)=b'$?

Mi intento: Mi intuición dice que no es posible. Intenté con $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Pero como aquí tenemos aplicaciones que intercambian las raíces de $min(\mathbb{Q},\sqrt{2}),min(\mathbb{Q},\sqrt{3})$ y cada elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ es de la forma $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$ no hay posibilidad de obtener un contraejemplo. También intenté con alguna otra extensión finita. Como cualquier extensión normal finita es separable para $char~F=0$ y por lo tanto simple, creo que no hay posibilidad de obtener un contraejemplo aquí tampoco.

¡Estoy atascado con este problema desde hace 3 días! ¿Alguien puede darme alguna pista para probarlo o algún ejemplo para refutarlo?

Answer 1

Aquí tienes un ejemplo muy explícito: toma $F = \mathbb Q$ y deja que $M$ sea el campo de descomposición sobre $\mathbb Q$ de algún cúbico irreducible cuyo discriminante sea un cuadrado en $\mathbb Q$. ${\rm Gal}(M:F)$ es entonces el grupo alternante $A_3$, actuando por permutación en las raíces $\alpha, \beta, \gamma$ del cúbico. Ahora toma $a = \alpha, a' = \beta$ y toma $ b = \beta, b' = \alpha$, por lo que tanto $a$ como $b$ tienen polinomio mínimo igual a nuestro cúbico elegido. Dado que $(12) \notin A_3$, no hay un $\sigma \in {\rm Gal}(M:F)$ tal que $\sigma(a) = a'$ y $\sigma(b) = b'$.