¿Por qué el círculo para la dualidad de Pontryagin?

Question

Para un grupo localmente compacto $G$, definimos el dual de Pontryagin como $\hat G = Hom(G,\mathbb T)$ donde $\mathbb T$ es el grupo de círculo y los homomorfismos son mapas de grupo continuos. Esta dualidad tiene muchas propiedades interesantes y aparece en muchos lugares, por lo que probablemente sea la definición correcta.

Sin embargo, sin el beneficio de la retrospectiva, ¿por qué uno elegiría definir el dual de un grupo con respecto a $\mathbb T$ (en lugar de algún otro grupo localmente compacto, por ejemplo)? ¿Existe alguna razón para promover $\mathbb T$ a un lugar especial entre todos los grupos localmente compactos?

Un poco más ampliamente, ¿hay otros grupos $H$ que también den lugar a una buena teoría de dualidad si definimos $\hat G_H = Hom(G,H)$?

Una posible respuesta sería explicar el contexto histórico/necesidad que llevó a la definición. Pero también puede haber otras motivaciones y estaría abierto a ambos tipos de respuestas.

En una nota estrechamente relacionada, también se puede hacer una pregunta similar para la dualidad de Cartier en geometría algebraica. Probablemente, las dos tendrán respuestas similares.

Answer 1

El grupo $\mathbb T$ es especial. En este sitio y en math.stackexchange la misma pregunta ha sido hecha anteriormente.

Ver la segunda pregunta en ¿Cuándo generaliza la dualidad de Pontryagin? y ¿Por qué personajes unitarios para el grupo dual en la dualidad de Pontryagin si $G$ no es compacto? para una explicación.

Answer 2

Este es un comentario largo en lugar de una respuesta. Además, seré muy descuidado en los detalles porque no tengo un fuerte conocimiento sobre ellos.

Creo que el hecho de que la dualidad de Pontryagin funcione con mapas $\mathrm{Hom}(\,\_\,,\mathbb{T})$ donde $\mathbb{T}=U(1)$ tiene que ver con los siguientes hechos:

• La dualidad de Cartier, que es algo muy natural/razonable de hacer, funciona con el grupo multiplicativo, que es $\mathbb{C}^\times$ sobre los números complejos.
• $\mathbb{T}\subset\mathbb{C}^\times$ es la forma real compacta del grupo reductivo $\mathbb{C}^\times$, y la teoría de representaciones de un grupo algebraico reductivo complejo es "la misma" que la de su forma real compacta.

[Edición importante: como el comentario de Yemon Choi me recordó, en lo que sigue el grupo algebraico $G$ tiene que ser diagonalizable, o al menos una versión de la dualidad de Cartier que conozco está definida para esquemas de grupos de tal tipo en Waterhouse Introduction to affine group schemes. ¡Esto es muy restrictivo!]

¿Entonces, qué es la dualidad de Cartier? Trabajando sobre $\mathbb{C}$, hay una involución en la categoría $\mathbf{CHopf}$ de álgebras de Hopf conmutativas $$\mathbf{CHopf}\to\mathbf{CHopf}$$ $$A:=(V,m,\Delta)\mapsto A^\vee:=(V^\vee,\Delta^\vee,m^\vee)$$

enviando un álgebra de Hopf $A$ con espacio vectorial subyacente $\mathbb{C}$-vectorial $V$, multiplicación $m$ y comultiplicación $\Delta$ (y otros datos que estoy suprimiendo de la notación) a la estructura de álgebra de Hopf $A^\vee$ en el espacio vectorial dual $V^\vee=\mathrm{Hom}(V,\mathbb{C})$ con multiplicación dada por $\Delta^\vee$ y comultiplicación por $m^\vee$. La categoría $\mathbf{aaGrp}$ de grupos algebraicos complejos afines es opuesta a la categoría $\mathbf{CHopf}$ a través de $A=(V,m,\Delta)\mapsto G:=\mathrm{Spec}(V,m)$ con la operación del grupo dada por el morfismo $\mathrm{Spec}(\Delta):G\times G\to G$. A la inversa, un grupo algebraico $(G,\mu)$ va a $V=\mathcal{O}(G)$, el álgebra de funciones globales en $G$, con su estructura algebraica natural, y la comultiplicación dada por $\mu^{\sharp}:\mathcal{O}(G)\to\mathcal{O}(G\times G)=\mathcal{O}(G)\otimes\mathcal{O}(G)$.

Bajo esta antiequivalencia $\mathbf{CHopf}\to\mathbf{aaGrp}$, la involución $A\to A^\vee$ corresponde a $G\mapsto \mathbf{aaGrp}(G,\mathbb{C}^\times)$.

Esto quiere decir que "dualizar de Pontryagin" con respecto a $\mathbb{T}$ de alguna manera proviene de la dualidad habitual de espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$.