Motivación e interpretación física de la transformada de Laplace

Question

En cuanto a la transformada de Laplace unilateral,

$$\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} dt$$

¿Cuál es la motivación para llegar a esa fórmula? Me interesa particularmente las interpretaciones "físicas" de la transformada de Laplace.

En comparación, la transformada de Fourier,

$$\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i 2 \pi \xi x} dx$$

puede ser motivada como una descomposición continua en modos de frecuencia, que es una interpretación orientada a la física: $\mathcal{F}\{f\}(\xi)$ te dice la amplitud del modo de Fourier $e^{-i 2 \pi \xi x}$ en la señal $f$.

Aún no he encontrado una buena explicación de cómo surge la fórmula de la transformada de Laplace. Si la función $f$ se anula en valores negativos, entonces $\mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{F}\{f\}(s/(2\pi i))$, lo cual es una buena relación entre la transformada de Laplace y Fourier, pero no particularmente reveladora.

Answer 1

De R. N. Bracewell, "La Transformada de Fourier y sus Aplicaciones", McGraw Hill 3ª ed., p.381:

"Las ventajas de la transformada de Laplace sobre la transformada de Fourier para manejar transitorios eléctricos y otros problemas son a menudo citadas en libros. La ventaja esencial de la transformada de Fourier es su interpretabilidad física -- como un espectro, un patrón de difracción, y así sucesivamente. Las transformadas de Laplace no son tan interpretables, y una vez que tomamos la transformada de Laplace de una ecuación, solo retenemos un entendimiento matemático, no físico, de su significado."

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EDICIÓN. Cité este extracto, porque aquí es donde personalmente encontré mi respuesta a la pregunta "¿hay una interpretación física de la transformada de Laplace?". Bracewell da una respuesta bastante clara y definitiva en negativo. Hasta donde yo sé, este libro sigue siendo una referencia estándar para la ciencia y la ingeniería, así que me quedo con esto.