En cuanto a la transformada de Laplace unilateral,
L{f}(s)=∫∞0f(t)e−stdtL{f}(s)=∫∞0f(t)e−stdt
¿Cuál es la motivación para llegar a esa fórmula? Me interesa particularmente las interpretaciones "físicas" de la transformada de Laplace.
En comparación, la transformada de Fourier,
F{f}(ξ)=∫∞−∞f(x)e−i2πξxdxF{f}(ξ)=∫∞−∞f(x)e−i2πξxdx
puede ser motivada como una descomposición continua en modos de frecuencia, que es una interpretación orientada a la física: F{f}(ξ)F{f}(ξ) te dice la amplitud del modo de Fourier e−i2πξxe−i2πξx en la señal ff.
Aún no he encontrado una buena explicación de cómo surge la fórmula de la transformada de Laplace. Si la función ff se anula en valores negativos, entonces L{f}(s)=F{f}(s/(2πi))L{f}(s)=F{f}(s/(2πi)), lo cual es una buena relación entre la transformada de Laplace y Fourier, pero no particularmente reveladora.