En cuanto a la transformada de Laplace unilateral,
L{f}(s)=∫∞0f(t)e−stdt
¿Cuál es la motivación para llegar a esa fórmula? Me interesa particularmente las interpretaciones "físicas" de la transformada de Laplace.
En comparación, la transformada de Fourier,
F{f}(ξ)=∫∞−∞f(x)e−i2πξxdx
puede ser motivada como una descomposición continua en modos de frecuencia, que es una interpretación orientada a la física: F{f}(ξ) te dice la amplitud del modo de Fourier e−i2πξx en la señal f.
Aún no he encontrado una buena explicación de cómo surge la fórmula de la transformada de Laplace. Si la función f se anula en valores negativos, entonces L{f}(s)=F{f}(s/(2πi)), lo cual es una buena relación entre la transformada de Laplace y Fourier, pero no particularmente reveladora.