Motivación e interpretación física de la transformada de Laplace

Question

En cuanto a la transformada de Laplace unilateral,

$$\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} dt$$

¿Cuál es la motivación para llegar a esa fórmula? Me interesa particularmente las interpretaciones "físicas" de la transformada de Laplace.

En comparación, la transformada de Fourier,

$$ \mathcal{F}\{f\}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i 2 \pi \xi x} dx $$

puede ser motivada como una descomposición continua en modos de frecuencia, que es una interpretación orientada a la física: $\mathcal{F}\{f\}(\xi)$ te dice la amplitud del modo de Fourier $e^{-i 2 \pi \xi x}$ en la señal $f$.

Aún no he encontrado una buena explicación de cómo surge la fórmula de la transformada de Laplace. Si la función $f$ se anula en valores negativos, entonces $\mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{F}\{f\}(s/(2\pi i))$, lo cual es una buena relación entre la transformada de Laplace y Fourier, pero no particularmente reveladora.

Answer 1

La motivación física para la transformada de Laplace es causalidad.

Considera la relación lineal de entrada-salida $$f_{\text{salida}}(t)=\int_{0}^\infty R(t-t')f_{\text{entrada}}(t')\,dt'.$$ La causalidad dicta que la función de respuesta $R(t)$ es cero para $t<0$, para asegurar que la salida solo dependa de la entrada en tiempos anteriores.

Entonces, si conocemos la transformada de Laplace $\hat{R}(s)$ de la función de respuesta (o función de transferencia), la salida está relacionada con la entrada por $$\hat{f}_{\text{salida}}(s)=\hat{R}(s)\hat{f}_{\text{entrada}}(s).$$ Uno podría trabajar en cambio con la transformada de Fourier, con la complicación de que la transformada de Fourier de una entrada constante solo existe como una distribución delta (mientras que la transformada de Laplace es simplemente $1/s$).

Answer 2

Además de la importante motivación física señalada por Carlo Beenakker, hay otra, puramente matemática. La transformada de Laplace es una generalización de una serie de potencias (y series de Dirichlet). En $f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n x^n$, establece $x=e^{-t}$, entonces $$f(e^{-t})=\sum_{n=0}^\infty c_ne^{-nt}=\int_{0-}^\infty e^{-st}d\mu(s),$$ donde $\mu$ es una medida discreta con átomos en enteros no negativos, cada átomo de tamaño $c_n$. Si en lugar de una medida discreta tomas una continua con densidad $F$, es decir, $d\mu(s)=F(s)ds$, obtienes la integral de Laplace clásica. Si $d\mu$ es cualquier medida discreta, obtienes una serie de Dirichlet $$\sum_{n=0}^\infty c_n e^{-\lambda_n x}.$$

Otra motivación es que la transformada de Laplace es analítica, bajo supuestos mucho más débiles sobre una función que los de la analiticidad de la transformada de Fourier. Esto permite generalizar la transformada de Fourier a una clase más amplia de objetos que las distribuciones de Schwarz.

Por ejemplo, sea $f$ una función localmente integrable que solo cumple $$f(x)=O(e^{\epsilon x})\quad\mbox{para todo}\quad\epsilon>0.$$ Entonces la transformada de Fourier usual no está definida. Sin embargo ambos integrales $$F_1(z)=\int_0^\infty f(x)e^{-ixz}dx, \quad\mbox{y}\quad F_2(z)=-\int_{-\infty}^0 f(x)e^{-ixz}dx$$ están bien definidos y son analíticos: el primero para $z$ en la mitad inferior del plano y el segundo en la mitad superior del plano. El par de funciones analíticas $(F_1,F_2)$ se llama la transformada de Fourier en el sentido de Carleman, y en el caso en que $f\in L^1$ que es la transformada de Fourier habitual existe, tenemos $\hat{f}=F_1-F_2$, donde se deben usar los valores de borde de $F_1,F_2$.

Esta idea es la base de la teoría de hiperfunciones. $F_1$ y $F_1$ son esencialmente transformadas de Laplace, hasta la sustitución $z\mapsto iz$.

Answer 3

El interés se compone continuamente a una tasa $r,$ por lo que si depositas $\\\$1$ ahora, valdrá $\\\$e^{rx}$ en el momento $x.$ ¿Cuánto necesitas depositar ahora para retirar a una tasa de $\\\$f(x)$ por unidad de tiempo $x$ eternamente? La respuesta es $$ (\mathcal Lf)(r) = \int_0^\infty f(x) e^{-rx}\, dx. $$ En matemáticas financieras, esta cantidad se llama el valor presente de un flujo de ingresos.

Answer 4

La transformada de Laplace es la operación fundamental que codifica el conjunto canónico en la mecánica estadística. Convierte la densidad de estados $d(\varepsilon)$ (un concepto no estadístico) en la función de partición canónica $Z(\beta)$, suministrando el factor de Boltzmann factor $e^{-\beta \varepsilon}$: $$ Z(\beta ) = \int_0^\infty d\varepsilon \ d(\varepsilon) \, e^{-\beta \varepsilon } $$

Answer 5

No discutiré los usos de la transformada de Laplace.

Yo pienso en la analogía con secuencias. Una secuencia $(a_n)_{n\geq 0}$ está determinada por su función generadora (dejando de lado los problemas de convergencia) $$ A(s)=\sum_{n\geq 0} a_n s^n. $$ Al hacer el cambio de variables $s=e^\lambda$ obtenemos su transformada de Laplace (de nuevo dejando de lado los problemas de convergencia) $$ L(\lambda) =\sum_{n\geq 0} a_n e^{n\lambda}. $$ Ahora piensa en la secuencia como una medida signada en $[0,\infty)$ $$ \mu=\sum_{n\geq 0} a_n\delta_n, $$ donde $\delta_n$ es la delta de Dirac concentrada en $n$. Entonces $$ L_\mu(\lambda)=\int_{\mathbb{R}_{\geq 0}} e^{\lambda t}\mu[dt]. $$ Esta expresión tiene sentido para cualquier medida signada en $[0,\infty)$. Si eliges la medida $\mu$ que sea de la forma $\mu[dt]=f(t) dt$ obtienes la transformada de Laplace de $f$.

¿Por qué la transformada de Laplace determinaría una medida signada $\mu$ de forma única? Aquí hay un argumento cuando $\mu$ es finita.

Denotemos por $C_\infty([0,\infty))$ el espacio de funciones continuas $[0,\infty\to\mathbb{R}$ que tienen un límite finito en $\infty$. Este es un espacio de Banach con respecto a la norma sup. Una medida finita en $[0,\infty)$ está determinada de forma única por lo que hace a las funciones en $C_\infty([0,\infty))$, es decir, las integrales $$ \mu[f]=\int_{[0,\infty)} f(t)\mu[dt],\;\;f\in C_\infty([0,\infty)). $$ La familia de funciones $E_\lambda(t):=e^{\lambda t}$, $\lambda\leq 0$, abarca un subespacio denso de $C_\infty([0,\infty)$. Por lo tanto, $\mu$ está determinado de forma única por las integrales $$ L_\mu(\lambda) =\mu[E_\lambda],\;\;\lambda \leq 0. $$