Sea $p^k m^2$ un número perfecto impar con el primo especial $p$ satisfaciendo $p \equiv k \equiv 1 \pmod 4$ y $\gcd(p,m)=1$. Denota la suma clásica de divisores del entero positivo $x$ como $\sigma(x)=\sigma_1(x)$.
Aquí está el Resumen del artículo de Dris y San Diego titulado "Algunas consideraciones modulares sobre los números perfectos impares - Parte II", publicado en NNTDM:
En este artículo, consideramos las diversas posibilidades para $p$ y $k$ módulo $16$, y mostramos condiciones bajo las cuales las respectivas clases de congruencia para $\sigma(m^2)$ (módulo $8$) se alcanzan, si $p^k m^2$ es un número perfecto impar con el primo especial $p$. Demostramos que:
(1) $\sigma(m^2) \equiv 1 \pmod 8$ se cumple solo si $p + k \equiv 2 \pmod {16}$.
(2) $\sigma(m^2) \equiv 3 \pmod 8$ se cumple solo si $p - k \equiv 4 \pmod {16}$.
(3) $\sigma(m^2) \equiv 5 \pmod 8$ se cumple solo si $p + k \equiv {10} \pmod {16}$.
(4) $\sigma(m^2) \equiv 7 \pmod 8$ se cumple solo si $p - k \equiv 4 \pmod {16}$.
De esta respuesta de mathlove y esta pregunta anterior de MSE, obtenemos la bicondicional $$\sigma(m^2) \equiv 3 \pmod 4 \iff p \equiv {k+4} \pmod {16}.$$
También tenemos la bicondicional $$\sigma(m^2) \equiv 1 \pmod 4 \iff p \equiv k \pmod 8,$$ según el teorema de caracterización de Chen y Luo.
Supongamos que se cumple la Conjetura Descartes-Frenicle-Sorli de que $k=1$.
Si $p=5$, entonces esto claramente implica que $\sigma(m^2) \equiv 3 \pmod 4$.
He aquí nuestra:
PREGUNTA: Si $p=13$, entonces dado que $13 = p \equiv {k+4=5} \pmod 8$ se cumple, pero la conjunción $$(p = 13) \land (k=1)$$ obviamente no satisface $p \equiv {k+4} \pmod {16}$ ni $p \equiv k \pmod 8$, ¿se sigue que la implicación $k = 1 \implies p \neq 13$ se cumple, ya que de lo contrario $$\lnot\Bigg(p \equiv {k+4} \pmod {16}\Bigg) \iff \lnot\Bigg(\sigma(m^2) \equiv 3 \pmod 4\Bigg)$$ y $$\lnot\Bigg(p \equiv k \pmod 8\Bigg) \iff \lnot\Bigg(\sigma(m^2) \equiv 1 \pmod 4\Bigg),$$ contradiciendo el hecho de que $\sigma(m^2)$ debe ser impar?
