En el estudio de la siguiente serie $$ \sum_{n \geq 1} {\frac{1^2+2^2+ \cdots + n^2}{n^p}} $$ no es difícil probar que diverge para $p \leq 3$, ya que la secuencia en sí misma no converge a 0. También se puede concluir que la serie converge para $p > 4$ mediante comparación con la serie de Riemann. La prueba de Raabe indica que la serie diverge para p entre 3 y 4. Sin embargo, no proporciona información para el caso $p=4$.
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aporia
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No necesitamos aplicar la fórmula explícita para $1^2+2^2+\ldots +n^2.$ En su lugar, observamos que $$n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1\ge 3n^2$$ Por lo tanto $$1^2+2^2+\ldots +n^2\ge {1\over 3}\left ([1^3-0^3]+[2^3-1^3]+\ldots +[n^3-(n-1)^3]\right ]={1\over 3}n^3$$ Por lo tanto, el término $n$-ésimo de la serie para $p=4$ es mayor o igual a $\displaystyle{1\over 3n}.$
Otro enfoque es aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$(1+2+\ldots +n)^2\le (1^2+2^2+\ldots +n^2)n$$ por lo tanto $$1^2+2^2+\ldots +n^2\ge {1\over n}{n^2(n+1)^2\over 4}\ge {n^3\over 4}$$
mathgeek
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Ya sabemos que $\displaystyle \sum _{i=1}^{n} i^{2} \ =\ \frac{n( n+1)( 2n+1)}{6}$
Entonces $\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^{n} i^{2}}{n^{p}} \ =\ \frac{( n+1)( 2n+1)}{6n^{p-1}}$
Ahora si tomamos el límite $\displaystyle n\rightarrow \infty $ y aplicamos la regla de L'Hopital, podemos ver que
$\displaystyle \frac{4n+3}{6( p-1) n^{p-2}} \ =\ \frac{4}{6( p-1)( p-2) n^{p-3}}$
Edit: Como señalaron correctamente en los comentarios, esta serie diverge para $p = 4$ y más adelante converge para $p = 5$ (el famoso problema de Basilea).
Esto se debe a que cuando $p = 4$, cada término efectivamente se convierte en la forma $\frac 1n$ y sabemos que esto diverge. Por otro lado, para $p = 5$ se convierte en $\frac 1{n^2}$.
