Juego de lanzamiento de moneda: HH vs HT en una secuencia de lanzamientos

Question

Un experimento de pensamiento interesante que implica lanzar una moneda justa se está difundiendo en X/Twitter:

Lanza una moneda justa 100 veces, lo que da una secuencia de caras (H) y cruces (T). Por cada HH en la secuencia de lanzamientos, Alice obtiene un punto; por cada HT, Bob lo hace, entonces por ejemplo para la secuencia THHHT Alice obtiene 2 puntos y Bob obtiene 1 punto. ¿Quién es más probable que gane?

La respuesta, que Bob es más probable que gane, parece contraintuitiva. Por supuesto que puedo resolver el problema por fuerza bruta para mostrar que 'Bob' es la respuesta correcta - parece estar relacionado de alguna manera con Bob teniendo una varianza más baja que Alice. Pero me resulta difícil ver por qué las varianzas difieren.

library(dplyr)

sim.flip = function(X){
s2 = sample(x = c(0,1),size = X,replace = T) %>% as.character() %>% as.matrix()

s3 = s2 %>% matrix(ncol = 2,byrow = T) 
s4 =  s2[-c(1,X)] %>% matrix(ncol = 2,byrow = T) 

s5=apply(s3,1,function(X){paste(X,collapse="",sep="")})
s6=apply(s4,1,function(X){paste(X,collapse="",sep="")})

A = length(grep(x = s5,pattern = "00") )+
length(grep(x = s6,pattern = "00"))

B = length(grep(x = s5,pattern = "01"))+
length(grep(x = s6,pattern = "01"))

return(data.frame(A=A,B=B))
}

set.seed(12345)
sims = sapply(c(1:10000),function(X){sim.flip(X=100)}) %>% unlist() %>% matrix(ncol = 2,byrow = T) %>% as.data.frame()
colnames(sims) = c("Alice","Bob")

sims$winner = ifelse(sims$Alice > sims$Bob,yes = "Alice","Bob")       
sims$winner[sims$Alice == sims$Bob] = "Empate"

table(sims$winner)

Alice   Bob   Empate 
 4626  4791   583

# El valor esperado es el mismo
mean(sims$Alice)
[1] 24.7837
mean(sims$Bob)
[1] 24.7572

# La varianza difiere
var(sims$Alice)
[1] 30.36575
var(sims$Bob)
[1] 6.229471

Answer 1

La clave es que aunque ambos jugadores pueden esperar obtener la misma cantidad de puntos en un conjunto de juegos, las victorias de Alice (es decir, donde obtiene la mayor cantidad de puntos) tienden a ser más grandes pero menos frecuentes. Las victorias de Bob tienen un margen más pequeño y ocurren con más frecuencia. Al observar todas las posibilidades en un juego de 3 lanzamientos, vemos:

Juego

Puntuación (A vs B)

Ganador

$HHH$

2 vs 0

A

$HHT$

1 vs 1

-

$HTH$

0 vs 1

B

$HTT$

0 vs 1

B

$THH$

1 vs 0

A

$THT$

0 vs 1

B

$TTH$

0 vs 0

-

$TTT$

0 vs 0

-

En este caso, cada jugador obtuvo 4 puntos en todos los juegos, pero Bob gana 3 juegos a 2.

Esencialmente, los puntos de Alice se malgastan al ser lanzados en juegos que ya ha ganado (solo el $HHH$ en este caso). Es similar a cualquier juego donde se juega ganando sub-juegos intermedios (juegos/sets en tenis, circunscripciones en elecciones SMM, etc), ya que cada victoria en sub-juegos es una función de decisión no lineal que ignora la magnitud de la victoria.

Y esa es la razón por la que es contraintuitivo: se necesita esfuerzo para darse cuenta de las consecuencias que surgen cuando puntos igualmente probables no se distribuyen uniformemente en los juegos posibles.

Answer 2

Es exactamente 50/50. Lo simulé por mí mismo. Están confundiendo este acertijo con HHT HTT que no es igual. Una forma fácil de verificar es mirar 4 lanzamientos, escribir todas las 16 permutaciones. Cada uno recibe 12 puntos