Pregunta sobre la derivación de la solución general a una ecuación diferencial lineal de primer orden

Question

Tomando una clase de EDOs por primera vez. Ha pasado un tiempo desde que tomé Cálculo, así que lamento si esta pregunta tiene una respuesta simple que me estoy perdiendo.

Estoy derivando la solución general para $\frac{dy}{dt}+p(t)y=g(t)$. Logré la solución para $\frac{dy}{dt}+ay=g(t)$ con $a$ como constante y entiendo por qué el factor de integración es $e^{at}$. En la derivación para el caso general con $p(t)$, el libro de texto afirma que $\mu(t)$ debe cumplir la ecuación $\frac{d\mu(t)}{dt}=p(t)\mu(t)$, lo cual tiene sentido. Luego, el libro de texto dice

Si asumimos temporalmente que $\mu(t)$ es positivo, tenemos

$$\frac{1}{\mu(t)}\frac{d\mu(t)}{dt}=p(t)$$

y consecuentemente

$$ln|\mu(t)|=\int p(t)dt+k$$

La segunda línea es la que no entiendo. Supongo que estamos integrando ambos lados, entonces ¿a dónde va $\frac{d\mu(t)}{dt}$? ¿Cómo pasas del primero al segundo? De nuevo, lamento si este es un error simple de mi parte. Saludos.

Answer 1

Es similar. La ecuación puede escribirse como: $$ \begin{align} \dot{y} +p(t)y & = g(t) \\ \end{align} $$ Tomar nota de la notación $\dot{y} = \frac{dy}{dt}$.

Podemos multiplicar $e^{\int p(t)dt}$ a ambos lados de la ecuación: $$ \begin{align} e^{\int p(t)dt} \Bigl( \dot{y} +p(t)y \Bigr) & = e^{\int p(t)dt}g(t) \\ e^{\int p(t)dt}\dot{y} + e^{\int p(t)dt}p(t)y & = e^{\int p(t)dt}g(t) \\ \end{align} $$ Esto también puede escribirse como una EDO de manera equivalente en esta expresión: $$ \begin{align} \dot{\Bigl( e^{\int p(t)dt}y \Bigr)} & = e^{\int p(t)dt}g(t) \\ \end{align} $$
Podemos permitir que $\mu(t)=e^{\int p(t)dt}$ sea el factor de integración. $$ \begin{align} \dot{\Bigl( \mu(t)y \Bigr)} & = \mu(t)g(t) \\ \end{align} $$ Al integrar ambos lados, la solución general a la EDO inhomogénea de primer orden es: $$ \begin{align} \mu(t)y & = \int \mu(t)g(t) dt\\ y(t) & = \frac{1}{\mu(t)} \int \mu(t)g(t) dt\\ \end{align} $$ También podemos mostrar que $\dot{\mu}(t) = p(t)\mu(t)$. Al diferenciar $\mu(t)$ y aplicar el teorema fundamental del cálculo I: $$ \begin{align} \dot{\mu}(t) & = \frac{d}{dt} \Bigl( e^{\int p(t)dt} \Bigr) \\ & = e^{\int p(t)dt}\frac{d}{dt} \Bigl( \int p(t)dt \Bigr) \\ & = e^{\int p(t)dt}p(t)\\ & = p(t)\mu(t)\\ \end{align} $$
lo cual satisface la expresión anterior. ¡Espero que te ayude!