Encuentra una matriz ortogonal $Q$ de modo que la matriz $QAQ^{-1}$ sea diagonal.

Question

La pregunta es la siguiente:

 

$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &1& 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) $ Encuentra una matriz ortogonal $Q$ para que la matriz $QAQ^{-1} $ sea diagonal. Verifica esto mediante cálculos directos.

Mi amigo sabe cómo encontrar el vector propio para el valor propio de 3, pero no sabe cómo encontrar el vector propio para el valor propio de 0: cuando lo calcula, obtiene una respuesta diferente a la dada por la solución.

Encontró los vectores $\left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $ y $\left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) $ mediante el cálculo de $Ker(A-0I)$.

Sin embargo, según las soluciones, los vectores propios para el valor propio 0 son $\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) $

y $\left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{array} \right) $

Answer 1

Cuando hablas de encontrar vectores como soluciones a la ecuación $Ax = \lambda x$, la solución es un subespacio, no simplemente un conjunto finito de vectores.

Por lo tanto, la afirmación que está haciendo es la misma que la que está haciendo tu amigo, ya que el subespacio generado por esos conjuntos de vectores es el mismo (verifícalo).

No importa qué conjunto de vectores uses (aunque por supuesto, cambiará tu $Q$).