¿Con qué frecuencia es mayor el producto de los factores primos distintos de un número que el del siguiente número?

Question

El radical $\mathrm{rad}\; n$ de un entero positivo $n$ es el producto de los factores primos distintos de $n$. Por ejemplo $\mathrm{rad}\; 12=2\cdot 3=6$.

Denotemos la suma de los factores primos distintos de $n$ como $\mathrm{spf}\; n$.

Afirmación: Dado cualquier $k \ge 1$, para casi la mitad de los enteros positivos $n$, $\mathrm{spf}\; n > \mathrm{spf}\; (n+k)$, pero solo para la tercera parte de los enteros positivos $n$, $\mathrm{rad}\; n > \mathrm{rad}\; (n+k)$.

Explicación detallada:

Para cualquier $k \ge 1$, habrá un $n$ tal que $\mathrm{rad}(n) > \mathrm{rad}(n+k)$ por ejemplo $n=15, k = 1$. Definimos

$$ a_{n,k} = \begin{cases} 1 & \frac{\mathrm{rad}(n)}{\mathrm{rad}(n+k)} > 1 \\ 0 &\text{ de lo contrario} \end{cases} $$

Pregunta: ¿Cuál es el valor límite?

$$ \lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}\sum_{n \le x}a_{n,k} $$

En lugar de un producto cuando usé la suma, el valor límite se acercaba a $0.5$, lo que significa que es igualmente probable que la suma de factores primos distintos de un número natural sea mayor o menor que la del siguiente número natural, lo cual tiene sentido intuitivo.

De manera similar, esperaba que el producto de los factores primos distintos de un número tuviera igual probabilidad de ser mayor o menor que el del siguiente número, pero no fue el caso. Me sorprendió ver que para $x = 1.5 \times 10^8$

$$ \dfrac{1}{x}\sum_{n \le x}a_{n,k} \approx 0.3386 $$ y estaba disminuyendo con $x$ por lo tanto, se espera que el límite eventual sea ligeramente menor que esto.

Nota: La versión inicial de esta pregunta fue con $k=1$ pero el resultado no cambia con $k$, por lo tanto he actualizado la pregunta.

Answer 1

Cada uno de estos productos será $\frac{n}{p}$ y $\frac{n+1}{q}$ para algunos $p,q\in\mathbb{Z}^+$, donde $p$ y $q$ son los números primos "restantes" en las factorizaciones de $n$ y $n+1$ cuando se ha eliminado una copia de cada número primo distinto.

Si $p\neq q$, $\frac{n}{p}>\frac{n+1}{q}\iff p. Cuál de los números primos $p$ y $q$ es más grande será "aleatorio" efectivamente, en el sentido de que el comportamiento cambiará mucho y uno será más grande que el otro con una proporción limitante de $0.5$. (Una demostración formal podría resultar difícil, pero ciertamente puedes recopilar evidencia numérica para respaldar esto - creo que tiene tanto sentido intuitivo como el caso de la suma que mencionaste.)

Cuando $p=q$, la comparación siempre favorecerá a $n+1$. Pero ya que $n$ y $n+1$ son primos relativos, esto solo ocurre cuando $p=q=1$ - es decir, cuando $n$ y $n+1$ son libres de cuadrados. Por lo tanto, queremos averiguar qué fracción de pares de enteros consecutivos son libres de cuadrados, y así qué proporción limitante excluir del reparto uniforme mencionado anteriormente.

Afortunadamente, podemos expresar esto como un producto infinito. Que un número sea libre de cuadrados significa simplemente que no es divisible por $4, 9, 25, \ldots, p^2,\ldots$. La fracción limitante de pares $(n,n+1)$ que no contienen un múltiplo de 4 es $2/4$; de igual manera, que ninguno sea múltiplo de 9 es $7/9$, y así sucesivamente.

Sin embargo, congruencia módulo los primeros $N$ primos es independiente en rangos grandes según el teorema chino del resto. Por lo tanto, nuestra probabilidad de que un par "aleatorio" sea libre de cuadrados es

$$\prod_p\frac{p^2-2}{p^2}$$

lo cual parece ser alrededor de $0.322634...$, o un poco menos de un tercio. Esto significa que tu valor limitante será

$$\frac12\left(1-\prod_p\frac{p^2-2}{p^2}\right) \approx 0.33868295...$$

Answer 2

Si $n+1$ es libre de cuadrados entonces $p(n+1)=n+1\implies a_n=0$ así $$\lim\sup_{n\to \infty} \dfrac{1}{x}\sum_{n \le x}a_n \le 1-\frac{6}{\pi^2}\approx 0.393$$