¿Estos axiomas definen un álgebra booleana?

Question

En "Category Theory" de Awodey, se define un álgebra booleana $\mathcal{B}$ como

• un poset $(B,\leq)$ junto con
• dos elementos $0$ y $1$, junto con
• dos operaciones binarias $\lor, \land$, y
• una operación unaria $\lnot$

tal que

1. $0 \leq a$
2. $a \leq 1$
3. $a \leq c,\;b \leq c \iff a \lor b \leq c$
4. $c \leq a,\;c \leq b \iff c \leq a \land b$
5. $a \leq \lnot b \iff a \land b = 0$
6. $\lnot \lnot a = a$

Según wikipedia, veo que un álgebra booleana es un retículo distributivo complementado. Los primeros 4 axiomas hacen de $\mathcal{B}$ un retículo acotado, y logré convencerme de que 1-6 implican que el retículo es complementado y que el complemento es único.

No logro demostrar que 1-6 impliquen la distributividad. Puedo usar 3-4 para demostrar que $$ (a \land b) \lor (a \land c) \leq a \land (b \lor c) $$ Pero no logro demostrar que 1-6 impliquen lo contrario, es decir, que 1-6 implican $$ a \land (b \lor c) \leq (a \land b) \lor (a \land c) $$

Answer 1

Parece que ya deduciste que $$x\wedge x = x,\quad x\wedge y = y \wedge x,\quad x\wedge(y\wedge z) = (x\wedge y)\wedge z$$ son identidades satisfechas por el álgebra. (Y también que $a\wedge b=a$ si y solo si $a\leq b$.)
Ahora considera el resultado

Teorema (O. Frink). Sea $\mathbf A = (A,\cdot,',0)$ un álgebra de tipo $(2,1,0)$ (es decir, $\cdot$ es binario, $'$ es unario, y $0$ es nulo), tal que
$(1)\quad xx=x$,
$(2)\quad xy=yx,$
$(3)\quad (xy)z=x(yz),$
$(4)\quad xy=x$ si y solo si $xy'=0$.
Define $\mathbf B = (A,\cdot,+,',0,1)$, donde $x+y=(x'y')'$ y $1=0'$. Entonces $\mathbf B$ es un álgebra booleana.

La prueba original está en
O. Frink, Representations of Boolean algebras, Bulletin Amer. Math. Soc. 47 (1941) 775-776.

Una prueba alternativa (sin usar la dualidad) se puede encontrar en
R. Padmanabhan, A first order proof of a theorem of Frink, Algebra Universalis, 13 (1981) 397-400.
Aquí, hay una prueba explícita de la distributividad.

Ahora solo tienes que demostrar que tu álgebra satisface la condición $(4)$ del teorema de Frink.
Utilizando tus condiciones (5) y (6), si $a$ y $b$ son miembros del álgebra, entonces $$ab=a \Leftrightarrow a \leq b \Leftrightarrow a \leq b'' \Leftrightarrow ab'=0,$$ y por lo tanto, efectivamente, el álgebra satisface todas las hipótesis en el teorema.