Conjeturas para grupos finitos que fallan con contraejemplos grandes

Question

Estoy haciendo esta pregunta en el mismo espíritu que esta otra pregunta: ¿Conjeturas que han sido refutadas con contraejemplos extremadamente grandes?.

¿Cuál es una conjetura interesante relacionada con grupos finitos, que falla primero para un grupo de orden $N$, con $N$ grande? Por "interesante" me refiero a una conjetura con un equilibrio entre tener una declaración simple, una que falle primero para un $N$ grande, y algo que no sea inmediatamente obvio que vaya a fallar.

Un ejemplo podría ser la conjetura "si $G$ es un grupo simple finito, entonces es el único grupo simple de su orden", que falla primero para $N=20160$.

"Grande" en este contexto, por supuesto, es indefinido, quizás diremos que $N$ es "grande" si el número de grupos de orden como máximo $N$ hasta el isomorfismo es "grande" en un contexto más genérico. Quizás podría sugerir $N \geq 32$ como grande, ya que $N=32$ es el número más pequeño tal que existen al menos $100$ grupos de orden como máximo $N$. ¡Pero mientras más grande sea $N$ que puedas encontrar, mejor!

Answer 1

Según esta respuesta de Chain Markov en la publicación que he vinculado, aquí hay algunos, ordenados de menor a mayor (conocido) contraejemplo:

• El grupo de automorfismos de un grupo no abeliano no es abeliano: contraejemplo en $N=64$.

• Todos los productos de conmutadores de cualquier grupo finito son conmutadores. Contraejemplo en $N=96$. (También mencionado en un comentario de Gerry Myerson en esta pregunta)

• Los grupos de automorfismos de todos los grupos finitos no isomorfos a $\{e\}$ o $C_2$ tienen orden par. Contraejemplo en $N=2187$ (el grupo de automorfismos del grupo mencionado tiene orden $729$)

• Conjetura de Moreto (muy similar a la que puse en el cuerpo de la pregunta): Sea $S$ un grupo simple finito y $p$ el primo más grande divisor de $|S|$. Si $G$ es un grupo finito con el mismo número de elementos de orden $p$ que $S$ y $|G| = |S|$, entonces $G \cong S$. También falla en $N=20160$ con los grupos simples de ese orden.

• Cualquier grupo Leinster tiene orden par. Contraejemplo conocido más pequeño en $N=355433039577$.

• Cualquier grupo finito completo no trivial tiene orden par (una conjetura de S. Rose): contraejemplo más pequeño conocido en $N=788953370457$. (c.f. A341298 en el OEIS.)

• Conjetura de Hughes: supongamos que $G$ es un grupo finito y $p$ es un número primo. Entonces $[G : \langle\{g \in G| g^p \neq e\}\rangle] \in \{1, p, |G|\}$. Contraejemplo más pequeño conocido en $N=142108547152020037174224853515625$.

• Supongamos que $p$ es un primo. Entonces, cualquier grupo finito $G$ con más de $\frac{p-1}{p^2}|G|$ elementos de orden $p$ tiene exponente $p$. Contraejemplo más pequeño conocido en $N=142108547152020037174224853515625$ (con $p=5$, mismo grupo que el anterior falla).

Estaría interesado en lo que más gente tiene.

Editar: Otra respuesta mía, mantenida por separado, ya que no estaba en la lista de Chain Markov.

Answer 2

Otra respuesta mía, separada de mi otra respuesta ya que no estaba en la lista que cité allí:

Supongamos que $G$ es el único grupo de orden $N$ (es decir, $G$ es cíclico). Entonces $N$ tiene como máximo $2$ factores primos. Falla primero para $N=255 = 3 \times 5 \times 17$.

Curiosamente, también falla para todos los números Carmichael: el criterio de Korselt para números Carmichael resulta ser un criterio más estricto que la clasificación de números de fuerza de ciclicidad, lo cual se puede ver de manera bastante directa.

(Menos interesante, $1$ grupo de orden $N$ $\implies N$ primo falla primero para $N=15$.)

¿Qué pasa con como máximo $3$ factores primos? Falla primero para $N=5865=3 \times 5 \times 17 \times 23$.

¿Y con como máximo $4$ factores primos? $N=146965=5 \times 7 \times 13 \times 17 \times 19$.

¿Y con como máximo $5$ factores primos? $N=3380195 = 5 \times 7 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23$, ...

Answer 3

Otra respuesta mía. No es tan grande, fallando en $N=24$ con $2$ grupos. Para contextualizar, hay $59$ grupos de orden $\leq 23$, $74$ grupos de orden $\leq 24$.

"El subgrupo conmutador de un grupo finito es abeliano" falla para dos grupos de orden $24$ (son $S_4$ y $SL_2(\mathbb{F}_3)$. $[S_4, S_4] = A_4$, $[SL_2(\mathbb{F}_3), SL_2(\mathbb{F}_3)] \cong Q_8$) y no para grupos más pequeños.