¿Cómo encontrar el límite siguiente $\lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}e^{-\frac{(x-a)^2}{2}}+e^{-\frac{x^2}{2}}} dx$

Question

¿Existe el límite siguiente? \begin{align} \lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}e^{-\frac{(x-a)^2}{2}}+e^{-\frac{x^2}{2}}} dx \end{align>

Observe que si hacemos \begin{align} \lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}e^{-\frac{(x-a)^2}{2}}+e^{-\frac{x^2}{2}}} dx \le \lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{e^{-\frac{x^2}{2}}} dx = \lim_{a \to \infty} e^{a^2}=\infty \end{align>

O bien, otra cota superior es

\begin{align> \lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}e^{-\frac{(x-a)^2}{2}}+e^{-\frac{x^2}{2}}} dx \le \lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}e^{-\frac{(x-a)^2}{2}}} dx = \lim_{a \to \infty} a^2 \sqrt{2 \pi}=\infty \end{align>

Para cotas inferiores obtenemos

\begin{align> \lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}e^{-\frac{(x-a)^2}{2}}+e^{-\frac{x^2}{2}}} dx \ge \lim_{a \to \infty} \int \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}+1} dx = \lim_{a \to \infty} \int e^{-(x-a)^2}dx= \lim_{a \to \infty}\frac{\sqrt{2 \pi}}{\frac{1}{a^2}+1} =\sqrt{2 \pi} \end{align>

Sin embargo, por otro lado obtenemos \begin{align> \int \lim_{a \to \infty} \frac{e^{-(x-a)^2}}{\frac{1}{a^2}+e^{-\frac{x^2}{2}}} dx =0 \end{align>

Esto, junto con la cota inferior, sugiere que intercambiar el límite e integración no está permitido. Entonces, ¿no se aplican DCT o MCT?

¿Alguien puede explicar cómo abordar este problema?

Answer 1

Llame a su integral $I_a$. Sea $x=y+a$ en la integral, luego reduzca el intervalo de integración a $[0,1]$. Entonces tenemos

$$\tag 1 I_a > \int_0^1 \frac{e^{-y^2}}{(e^{-y^2/2})/a^2 + e^{-(y+a)^2/2}}\, dy > \int_0^1 \frac{e^{-y^2}}{(e^{-y^2/2})/a^2 + e^{-a^2/2}}\, dy$$ $$ = a^2\int_0^1 \frac{e^{-y^2}}{e^{-y^2/2} + a^2e^{-a^2/2}}\, dy $$

Ahora $a^2e^{-a^2/2} \to 0$ cuando $a\to \infty.$ Así que una aplicación muy simple del DCT muestra que la última integral tiende a $\int_0^1 e^{-y^2/2}\, dy$. Por lo tanto, $I_a$ es al menos una constante positiva multiplicada por $a^2$ para $a$ grande, por lo tanto, $I_a \to \infty.