Para matrices de $n\times n$, ¿es cierto que $AB=CD\implies AEB=CED$?

Question

Si $A, B, C, D, E$ son matrices de $n \times n$, ¿implica $AB=CD$ que $AEB=CED$?

Solo sé que $AB=CD \implies ABE=CDE$, pero no veo cómo puedes incluir $E$ en medio.

Además, si $AB=CD=0$, ¿implica $\det(AB)=\det(CD)=0$?

Creo que esto debería ser cierto porque $AB$ y $CD$ son las mismas matrices y $\det(0)=0

Answer 1

Sean $A$ y $D$ la matriz identidad. ¿Implica $B=C$ que $EB=CE$?

Answer 2

La primera pregunta no es verdadera como muestra el siguiente contraejemplo:

$$ A = B = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ C = D = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\\ E = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Obtenemos $$ AB = 0 = CD$$ pero $$AEB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\\ CED = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Answer 3

La afirmación del "sándwich" no se cumple generalmente. Por ejemplo, tomemos $$ A = B = I = \pmatrix{1&0\\0&1}, \quad C = D = \pmatrix{0&1\\1&0} $$ Verifiquemos que $AB = CD$. Sin embargo, si tomamos $$ E = \pmatrix{1&0\\0&0} $$ encontramos que $AEB \neq CED$

Answer 4

$A= \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ ,$B= \begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ ,$C=D=0$ ,$E= \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 4& 3 \end{bmatrix}$. entonces la siguiente igualdad no es verdadera.

Answer 5

No creo que esto funcione con emparedados..... $$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix},$$ Entonces tenemos que $AB=CD$ por multiplicación de matrices, sin embargo si $$E=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ Entonces $AEB=\begin{pmatrix} 4 & 12\\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 2 & 10\\ 1 & 5 \\ \end{pmatrix}=CED$.