Probar que los elementos de las secuencias $(a_n),(b_n)$ son números racionales tales que $a_n<\sqrt{2}<b_n=a_n+2^{-n}$ para todo $n \geq 1$ usando inducción

Question

Para referencia, estoy en Introducción a Matemáticas Abstractas; he tomado Matemática Discreta, Cálculo 1 y Álgebra Lineal. Estoy atascado en el paso inductivo de la siguiente prueba. ¿Cuál sería un buen enfoque para hacerlo? No tengo idea.

Sea $a_0 = 1$ y $b_0 = 2$. Para $n \geq 0$, define $m_n, a_{n+1},$ y $b_{n+1}$ de la siguiente manera:

(i) Sea $m_n = (a_n +b_n)/2$.

(ii) Si $m^2_n \leq 2$, sea $a_{n+1} = m_n$ y $b_{n+1} = b_n$;

Si $m^2_n > 2$, sea $a_{n+1} = a_n$ y $b_{n+1} = m_n$.

Calcula los primeros seis términos de las secuencias $(a_n), \: (b_n),$ y $(m_n)$.

$$m_0 = (a_0 + b_0)/2 = (1 + 2)/2 = \frac{3}{2}$$ $$m_0^2 = \frac{9}{4} > 2, \: \therefore a_1 = a_0 = 1, \: b_1 = m_0 = \frac{3}{2}$$ $$m_1 = (a_1 + b_1)/2 = \left(1 + \frac{3}{2}\right) /2 = \frac{5}{4}$$ $$m_1^2 = \frac{25}{16} \leq 2, \: \therefore a_2 = m_1 = \frac{5}{4}, \: b_2 = b_1 = \frac{3}{2}$$ $$m_2 = (a_2 + b_2)/2 = \left(\frac{5}{4} + \frac{3}{2}\right)/2 = \frac{11}{8}$$ $$m_2^2 = \frac{121}{64}\leq 2, \: \therefore a_3 = m_2 = \frac{11}{8}, \: b_3 = b_2 = \frac{3}{2}$$ $$m_3 = (a_3 + b_3)/2 = \left(\frac{11}{8} + \frac{3}{2}\right)/2 = \frac{23}{16}$$ $$m_3^2 = \frac{529}{256} > 2, \: \therefore a_4 = a_3 = \frac{11}{8}, \: b_4 = m_3 = \frac{23}{16}$$ $$m_4 = (a_4 + b_4)/2 = \left(\frac{11}{8} + \frac{23}{16}\right)/2 = \frac{45}{32}$$ $$m_4^2 = \frac{2025}{1024} \leq 2, \: \therefore a_5 = m_4 = \frac{45}{32}, \: b_5 = b_4 = \frac{23}{16}$$ $$m_5 = (a_5 + b_5)/2 = \left(\frac{45}{32} + \frac{23}{16}\right)/2 = \frac{91}{64}$$ $$m_5^2 = \frac{8281}{4096} > 2, \: \therefore a_6 = a_5 = \frac{45}{32}, \: b_6 = m_5 = \frac{91}{64}$$ $$m_6 = (a_6 + b_6)/2 = \left(\frac{45}{32} + \frac{91}{64}\right)/2 = \frac{181}{128}$$ $$(a_n)=\left(1, 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{11}{8}, \frac{45}{32}, \frac{45}{32}, \: \ldots \right)$$ $$(b_n)=\left(2, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{23}{16}, \frac{23}{16}, \frac{91}{64}, \: \ldots \right)$$ $$(m_n)=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{23}{16}, \frac{45}{32}, \frac{91}{64}, \frac{181}{128}, \: \ldots \right)$$

Usa inducción para demostrar que $a_n$ y $b_n$ son números racionales tales que $$a_n < \sqrt{2} < b_n = a_n + 2^{-n} \textrm{ para todo } n \geq 1.$$

Caso Base

Intenta ver si la afirmación es verdadera para $n=0$. $$a_0 < \sqrt{2} < b_0 = a_0 + 2^0$$ $$1 < \sqrt{2} < 2 = 1 + 1$$ $$1 < \sqrt{2} < 2 = 2$$ Por lo tanto, la afirmación es verdadera para $n=0$.

Aquí es donde me quedé atascado, no sé por dónde empezar para esto.

Answer 1

Corriendo el riesgo de sonar como si estuviera tomando tu pregunta demasiado literalmente, la mejor manera de empezar es escribir el "esquema" de la prueba. Debido a que estamos haciendo inducción en un entero no negativo $n$, comienzas con las dos primeras oraciones a continuación[0], "Considera..." y "Supongamos...". Luego debemos probar algo sobre $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$, así que es mejor averiguar qué son. Esto nos lleva inmediatamente a la siguiente oración ("Las definiciones de...").

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Considera el caso $n+1$ para $n \ge 0$. Supongamos la hipótesis inductiva, $a_n < \sqrt{2} < b_n$. Las definiciones de $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$ dependen de si $m_n^2 \le 2$, así que consideramos cada caso por separado:

Si $m_n^2 \le 2$, entonces $a_{n+1} = ***$ y $b_{n+1} = ***$. Luego $***$. Por lo tanto, $a_{n+1} < \sqrt{2} < b_{n+1}$.

Si $m_n^2 > 2$, entonces $a_{n+1} = ***$ y $b_{n+1} = ***$. Luego $***$. Por lo tanto, $a_{n+1} < \sqrt{2} < b_{n+1}$.

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Ahora tienes un problema mucho más concreto: completar los $***$. Pero es importante entender que para llegar a este punto, el único conocimiento no mecánico que utilicé fue que necesitaríamos conocer las definiciones de $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$. Pero las dos primeras oraciones son completamente mecánicas porque es una prueba por inducción. Y luego el resto es mecánico porque la única forma de llegar a las definiciones de $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$ es entrando en el análisis de casos que se encuentra en su definición usando nuestro propio análisis de casos. Por supuesto, en la práctica general puedes descubrir cosas como que hay hechos compartidos entre los casos y así sucesivamente, de modo que el patrón básico termina cambiando a medida que escribes la prueba, pero el patrón es aún donde empezarás.

En este caso, intenta probar primero el caso $m_n^2 > 2$, porque resulta que ni siquiera depende de la definición de $m$ (es decir, enunciado (i)). Hay un poco más de dificultad para probar que la desigualdad final es estricta para el caso $m_n^2 \le 2$ y tendrás que saber algo sobre $m$.

[0] Estas pueden necesitar ser reescritas dependiendo de las preferencias del público objetivo; por ejemplo, es posible que necesitemos usar índices retrasados en uno para hablar de $n-1$ y $n$. O puede haber una forma establecida de escribir pruebas por inducción que se supone que debes seguir, así que úsala en su lugar. Pero esto equivaldrá a lo mismo.

Answer 2

Supongamos que la afirmación es verdadera para $n$. Entonces $m_{n} = (a_n+b_n)/2$ es racional.

Si $m_{n}^{2}\leq 2$ entonces $a_{n+1} = m_{n}\leq\sqrt{2}$. Pero como $m_{n}$ es racional, entonces $a_{n+1}< \sqrt{2}$. En este caso también tenemos que $b_{n+1} = b_{n} > \sqrt{2}$ y $b_{n+1} = a_{n}+2^{-n} = 2a_{n+1}-b_{n+1}+2^{-n}$. Por lo tanto, $b_{n+1} = a_{n+1}+2^{-(n+1)}$.

Si $m_{n}^{2} > 2$ entonces $a_{n+1} = a_{n} < \sqrt{2}$ y $b_{n+1} = m_{n} > \sqrt{2}$ y $b_{n+1} = (a_{n+1}+a_{n+1}+2^{-n})/2 = a_{n+1}+2^{-(n+1)}$.

En ambos casos está claro que $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$ son racionales.

Answer 3

Paso de inducción: sea $a_n<\sqrt{2} y $a_n,b_n$ racionales. Entonces $m_n=\frac12(a_n+b_n)$ también es racional y por lo tanto $\not=\sqrt2$ ya que $\sqrt2$ es irracional. Si $m_n<\sqrt2$ tenemos $(a_{n+1},b_{n+1})=(m_n,b_n)$ y $(a_{n+1},b_{n+1})=(a_n,m_n)$ si $m_n>\sqrt2$. Así que $a_{n+1}<\sqrt2 en cualquiera de los dos casos. Además, $b_{n+1}-a_{n+1}=b_n-m_n=\frac12(b_n-a_n)=2^{-(n+1)}$ en el primer caso y $b_{n+1}-a_{n+1}=m_n-a_n=\frac12(b_n-a_n)=2^{-(n+1)}$ en el segundo caso.

Answer 4

Hipótesis Inductiva para un $n \in \Bbb{N}$ dado es cierto que $a_n<\sqrt 2 < b_n=a_n+2^{-n}$.
Paso Inductivo Debemos probar que: $a_{n+1}<\sqrt 2 < b_{n+1}$.
Hay dos casos:
- Primer caso $m_n ^2 \leq 2$ (de hecho, dado que $m_n$ es racional, $m_n ^ 2 < 2 $). Entonces, por definición de $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$, (usando $ \sqrt 2 < b_n$ como parte de la H.I.) tenemos: $a_{n+1}=m_n<\sqrt 2 < b_n=b_{n+1}$ (recordar que $b_{n+1}=b_n$ si $m_n ^2 \leq 2$), que es lo que queríamos.
- Segundo caso $m_n ^2 > 2$. Entonces, por definición de $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$, (usando $a_n < \sqrt 2 $ como parte de la H.I.) tenemos: $a_{n+1}=a_n<\sqrt 2 < m_n=b_{n+1}$ (recordar que $a_{n+1}=a_n$ si $m_n ^2 \gt 2$), que es lo que queríamos.
En cualquier caso, obtenemos $a_{n+1}<\sqrt 2 < b_{n+1}$.
Sólo resta probar que $b_n=a_n+2^{-n}$. Espero que los argumentos anteriores (separados en casos) te ayuden a hacer esa parte.
Saludos.