Quiero demostrar que la única finito subgrupos de $GL_2(\mathbb Q)$$C_1, C_2, C_3, C_4, C_6, V_4, D_6, D_8,$$D_{12}$.
En primer lugar, hemos de determinar todos los posibles finito órdenes de elementos. Ahora, un elemento de orden $n$ tendrá un mínimo polinomio que divide $x^n-1$, por lo que su (complejo) las raíces de ser distinto, y por lo que la matriz sea diagonalizable sobre $\mathbb C$. Esto implica que tanto los autovalores son $n$th raíces de la unidad, y que al menos uno es primitivo, y por lo que el polinomio mínimo será el $n$th cyclotomic polinomio. Pero dado que el polinomio mínimo sólo puede tener grado $1$ o $2$, ya que estamos tratando con $2\times 2$ matrices, la única posible, los pedidos se los $n$ que $\phi(n)=1$ o $2$, por lo que la única posible, los pedidos se $1, 2, 3, 4$, e $6$. Por lo tanto, si $G$ es un subgrupo finito de $GL_2(\mathbb Q)$,$|G|=2^a3^b$.
Ahora, desde la $G$ contiene un Sylow-$3$ orden $3^b$, y cualquier $3$-grupo contiene subgrupos de cada pedido, una vez se demuestra que $C_3\times C_3$ no es un subgrupo de $GL_2(\mathbb Q)$, entonces podemos concluir que $b=0$ o $1$, puesto que ya vimos que $C_9$ no puede ser un subgrupo.
WLOG, vamos a $g=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&-1\end{bmatrix}$, que es el Racional de la Forma Canónica para la mínima polinomio $x^2+x+1$, por lo que ha pedido a $3$. Buscamos demostrar que no existe ninguna matriz $h$ tal que $h$ orden $3$, conmuta con $g$, y no es una potencia de $g$. Así que supongamos $h=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}$. A continuación,$gh=\begin{bmatrix} -c&-d\\a-c&b-d\end{bmatrix}$$hg=\begin{bmatrix} b&-(a+b)\\d&-(c+d)\end{bmatrix}$. La equiparación de estos, tenemos que $c=-b, d=a+b$, lo $h=\begin{bmatrix} a&b\\-b&a+b\end{bmatrix}$. Para $h$ a tener un orden $3$, el seguimiento debe ser $-1$, y el determinante debe ser $1$, al igual que en la Forma Canónica Racional, por lo $2a+b=1$, e $a^2+ab+b^2=1$. Las soluciones se $a=-1, b=1$$a=0, b=-1$. El último da $h=g$ y el ex da $h=g^2$, y no se puede subgrupo isomorfo a $C_3\times C_3$, y por lo tanto $9$ no divide al orden del grupo.
Ahora, el siguiente paso sería restringir el exponente de $2$, pero no estoy muy seguro de cómo hacer esto. Una parte del problema me dice que me demuestran que la única no cíclicos abelian subgrupo es $V_4$, la de Klein-$4$ grupo. Así que si dejamos $g=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}$ ser el RCF de $x+1$, entonces el único fin de $2$ de las matrices que conmutan con ella se $-g$$-g^2=-I$, que forman una Klein-$4$ grupo. Esto significa que $C_2^3$ no es un subgrupo. También, si conseguimos $g=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ ser el RCF de $x^2+1$, entonces el único fin de $2$ elemento que conmuta con es $-I=g^2$, por lo que tampoco hay un subgrupo isomorfo a $C_4\times C_2$. En un ejercicio anterior, me mostró que $Q_8$ no es un subgrupo de $GL_2(\mathbb R)$, y por lo tanto no es un subgrupo de más de $\mathbb Q$.
Pero esto no parece impedir que los subgrupos de orden $16$, ya que el $D_8$ es de hecho un subgrupo. La comprobación de todos los $14$ grupos de orden $16$, parece que todos ellos tienen un fin de $8$ subgrupo además de a $D_8$, pero hay un modo limpio, para descartar los grupos de orden $16$ sin clasificar, ya que yo soy aparentemente a la conclusión de que el orden de $G$ divide $24=2^3\cdot 3$ a partir del hecho de que el Klein-$4$ el grupo es el único no cíclicos abelian subgrupo.
Así que ahora, si lo asumen como sabe que $24$ divide el orden de $G$, entonces los órdenes posibles para$G$$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12$, e $24$. Puedo encontrar a $C_1, C_2, C_3, C_4, C_6, V_4, D_6, D_8,$$D_{12}$. Este se encarga de todos los órdenes, salvo $12$$24$. Puedo mostrar que $C_{12}$ $C_{6}\times C_2$ no son subgrupos, pero no estoy seguro de cómo descartar la nonabelian grupos de orden 12, $A_4$$C_3\rtimes C_4$, o los grupos de orden $24$.
Así que en resumen, estoy un poco atascado en descartar la nonabelian grupos de orden $12, 16,$$24$. Hay una forma más elegante de hacer esto en lugar de mirar las clasificaciones de estos grupos, subgrupos que ya he demostrado ser imposible?
