Para números positivos $a,b,c$ tal que $a+b+c=3$ demuestra que:

Question

Para números positivos $a, b, c$ tales que $a+b+c=3$ prueba que:

$\frac{a(a+b-2c)}{ab+1}+\frac{b(b+c-2a)}{bc+1}+\frac{c(c+a-2b)}{ac+1} \ge 0$

Este problema estaba en la primera parte del libro de desigualdades (desigualdad AM-GM) pero no parece tener una solución mediante la desigualdad AM-GM ya que tenemos paréntesis negativos. ¿Alguna pista?

Answer 1

Creo que está mal.

Intenta $$(a,b,c)\rightarrow(1.2,0,1.8)$$

Answer 2

C0nsider $(1.2,1.2,0.6)$ se tiene $LHS = \frac{1.2^2}{1.2^2 + 1} + \frac{-0.6\times 1.2}{1.2\times 0.6 + 1} + \frac{- 0.6\times 0.6}{1.2\times 0.6 + 1} < 0.$