Referencia para una Prueba del Teorema de Weyl-Von-Neumann

Question

Estoy buscando una referencia para la prueba del teorema de Weyl Von Neumann, sin embargo parece haber dos (o los dos podrían ser lo mismo).

Está el que se afirma en Conways, Un Curso de Análisis Funcional en la Sección 38 que afirma (aproximadamente) que para cualquier operador hermítico $A$ en un espacio de Hilbert hay un operador autoadjunto diagonalizable $D$ tal que $A$ y $D$ están cerca en muchas normas.

Pero por lo que puedo ver, esto no es lo único, (o está implícito en un montón de páginas web) que ya sea un teorema diferente o un corolario de este teorema es que si $A$ y $B$ tienen el mismo espectro esencial entonces (hasta una trasformación unitaria) están vinculados por un operador compacto.

¿Alguien puede darme una referencia para la prueba de la segunda afirmación en un libro / página web? El único lugar donde creo que podría encontrarlo en este momento es en el documento original 'Charakterisierung des Spektrums eines Integraloperators', pero no sé alemán.

Answer 1

Prueba Álgebra $C^*$ de Davidson por Ejemplos, que da un desarrollo completo de la teoría BDF generalizando desde Weyl-von Neumann.

Answer 2

En el libro de Tosio Kato Perturbation Theory for Linear Operators (reimpresión de la versión de los años 1980), la subsección X.2.1 se llama "Un Teorema de Weyl-Von Neumann" que inicia la sección sobre perturbaciones del espectro continuo en la p. 525. Según Kato, la demostración del primer teorema se debe a von Neumann, y se menciona su artículo alemán de von Neumann.

En el libro de Reed y Simon Analysis of Operators (Methods of Modern Mathematical Physics IV), puedes encontrar el "Teorema del Espectro Esencial de Weyl" (Teorema XIII.14, p. 112) y el "Teorema Clásico de Weyl" (Ejemplo 3 en la sección XIII.4, p.117).

Los tres teoremas están relacionados con la estabilidad del espectro:

El teorema en Kato es un resultado negativo que, en resumen, afirma que un operador autoadjunto $A$ puede ser perturbado con un operador de Hilbert-Schmidt arbitrariamente pequeño $H$ tal que $A+H$ tenga únicamente espectro puntual, es decir, no tenga espectro continuo en absoluto.

Los dos teoremas en Reed/Simon están relacionados con la estabilidad del espectro esencial bajo perturbaciones compactas (que incluyen diferentes extensiones autoadjuntas de igual operador simétrico de dimensión finita).

Answer 3

Otro lugar donde puedes encontrar esto es en el libro de Nigel Higson y John Roe, "Analytic K-homology". Ofrece una explicación completa de la teoría BDF, incluido el resultado de Weyl-von Neumann.