Identificación de soluciones especiales para EDOs

Question

Me encontré con esta ODE:

$ y' = 2(\frac{y}{x}) + 1 $

Logré resolverlo perfectamente bien, reconociendo que era una ODE homogénea de primer orden, usando la sustitución $v = y/x$ etc.

Mi respuesta fue -

$ y = Ax^2 - x $
donde $A = \pm e^c $

Ves, ahí fue donde mi conjunto de soluciones se vio obstaculizado, sin embargo, $ y = -x $ se considera una 'solución especial'.

¿Cómo podría identificar esto, porque $ \pm e^c \ne 0$ así que estoy teniendo dificultades para entenderlo por mi cuenta.

¡Cualquier ayuda es apreciada! :)

Answer 1

Cuando estás resolviendo la ecuación, debes tener cuidado con situaciones como $\frac{1}{v+1}$. ¿Qué sucede cuando $y = -x$?

Answer 2

$$y'-\frac{2}{x}y=1\implies\mu=e^{-2\operatorname{ln}x+C}=C_1x^{-2}$$

$$(y\mu)'=C_1x^{-2}\implies y=\frac{1}{\mu}(-C_1x^{-1}+C_2)=-x+C_3x^2$$

$C_3=\frac{C_2}{C_1}$

$C_2 \in \mathbb{R}$

$C_1=e^C$

$C\in\mathbb{R}$

$C_1\neq0$ but $C_2$ is any number so $C_3$ can be $0$