Mostrar que si $f|_{F_1}$ y $f|_{F_2}$ son funciones continuas, entonces $f$ es continua en $A$

Question

Problema: Sean $F_1$ y $F_2$ conjuntos cerrados en un espacio métrico $X$. Sea $A = F_1 \cup F_2$ y $f:A \rightarrow Y$ una función definida en $A$. Demuestra que si $f|_{F_1}$ y $f|_{F_2}$ son funciones continuas, entonces $f$ es continua en $A.

Mi opinión: Si $F_1, F_2$ son conjuntos cerrados en $X$, entonces $A$ es un conjunto cerrado en $X$. Dado que $f|_{F_1}$ es una función continua, existe una sucesión $(x_n)_n \subset F_1$ tal que $(x_n)_n \rightarrow x_0 \in F_1$, entonces $f(x_n) \rightarrow f(x_0)$. Como $x_0 \in F_1 \Rightarrow x_0 \in A$, por lo tanto $f$ es continua en $A$.

Mi pregunta: ¿Este problema proporciona información redundante o hay alguna trampa en él?

Answer 1

Para probar que $f$ es continua en $A$ tienes que empezar con una secuencia arbitraria $\{x_n\}$ en $A$ que converge a un punto $x$ en $A$ y mostrar que $f(x_n) \to f(x)$. Así que tu argumento no es válido. Aquí está una prueba: como $x \in A$ o bien $x \in F_1$ o $x \in F_2$. Supongamos $x \in F_1$. Divide la secuencia $\{x_n\}$ en dos partes, una proveniente de $F_1$ y otra de $F_2$. Si hay infinitos $n$ con $x_n \in F_2$ entonces $x =\lim x_n \in F_2$ (también) y puedes usar la continuidad de $f|F_2$. De lo contrario puedes usar la continuidad de $f|F_1$. Como tenemos convergencia para ambas subsecuencias, la secuencia completa $f(x_n) \to f(x)$. Argumento similar cuando $x \in F_2$. Argumento más simple: simplemente considera $f:A \to Y$ y prueba que la preimagen de cualquier conjunto cerrado en $Y$ es cerrada en $A$. Esto es bastante fácil. [La preimagen de $C$ bajo $f|F_i$ es $f^{-1}(C)\cap F_i$. Usa la identidad $[f^{-1}(C)\cap F_1] \cup [f^{-1}(C)\cap F_2]=f^{-1}(C)\cap A$.