1 votos

Mostrar que si f|F1f|F1 y f|F2f|F2 son funciones continuas, entonces ff es continua en AA

Problema: Sean F1F1 y F2F2 conjuntos cerrados en un espacio métrico XX. Sea A=F1F2A=F1F2 y f:AYf:AY una función definida en AA. Demuestra que si f|F1f|F1 y f|F2f|F2 son funciones continuas, entonces ff es continua en $A.

Mi opinión: Si F1,F2F1,F2 son conjuntos cerrados en XX, entonces AA es un conjunto cerrado en XX. Dado que f|F1f|F1 es una función continua, existe una sucesión (xn)nF1(xn)nF1 tal que (xn)nx0F1(xn)nx0F1, entonces f(xn)f(x0)f(xn)f(x0). Como x0F1x0Ax0F1x0A, por lo tanto ff es continua en AA.

Mi pregunta: ¿Este problema proporciona información redundante o hay alguna trampa en él?

2voto

user142385 Puntos 26

Para probar que ff es continua en AA tienes que empezar con una secuencia arbitraria {xn}{xn} en AA que converge a un punto xx en AA y mostrar que f(xn)f(x)f(xn)f(x). Así que tu argumento no es válido. Aquí está una prueba: como xAxA o bien xF1xF1 o xF2xF2. Supongamos xF1xF1. Divide la secuencia {xn}{xn} en dos partes, una proveniente de F1F1 y otra de F2F2. Si hay infinitos nn con xnF2xnF2 entonces x=limxnF2x=limxnF2 (también) y puedes usar la continuidad de f|F2f|F2. De lo contrario puedes usar la continuidad de f|F1f|F1. Como tenemos convergencia para ambas subsecuencias, la secuencia completa f(xn)f(x)f(xn)f(x). Argumento similar cuando xF2xF2. Argumento más simple: simplemente considera f:AYf:AY y prueba que la preimagen de cualquier conjunto cerrado en YY es cerrada en AA. Esto es bastante fácil. [La preimagen de CC bajo f|Fif|Fi es f1(C)Fif1(C)Fi. Usa la identidad [f1(C)F1][f1(C)F2]=f1(C)A[f1(C)F1][f1(C)F2]=f1(C)A.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X