¿Es $M\otimes E(R/m)$ un módulo irredimible?

Question

En el álgebra abstracta, un módulo es indecomponible si no es cero y no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos no nulos. En otras palabras, un módulo $R$-$M$ es indecomponible, si $M=A\oplus B$ donde $A,B$ son submódulos de $M$, concluimos que $A=0$ o $B=0$. Sea $(R,\frak m)$ un anillo local Gorenstein conmutativo y $M$ un módulo $R$ indecomponible finitamente generado. Supongamos que $E(R/\frak m)$ denota la envoltura inyectiva del campo $(R/\frak m)$. Supongo que $M\otimes_RE(R/\frak m)$ es un módulo $R$ indecomponible. Pero no puedo demostrarlo. Si mi suposición no es cierta, ¿podríamos poner alguna condición en M (como M es maximal Cohen-Macaulay), para que $M\otimes_RE(R/\frak m)$ sea indecomponible?

Answer 1

Esto es cierto si $M$ es reflexivo, lo cual es el caso si $M$ es maximal Cohen-Macaulay, como se asume que $R$ es Gorenstein. De hecho, sin pérdida de generalidad, podemos pasar a la completación para suponer que $R$ es completo. Por la dualidad de Matlis, $M \otimes_R E(R/\mathfrak{m})$ es indecomponible si y solo si $\operatorname{Hom}_R(M \otimes_R E(R/\mathfrak{m}),E(R/\mathfrak{m})) \cong \operatorname{Hom}_R(M,R)$ lo es. Notando que $\operatorname{Hom}_R(M,R)$ satisface la condición de Serre $(S_2)$ y por lo tanto es homogéneo, cualquier descomposición propia de $\operatorname{Hom}_R(M,R)$ proporciona una descomposición adecuada de $\operatorname{Hom}_R(\operatorname{Hom}_R(M,R),R)) \cong M$ ya que cada componente tiene dimensión máxima, estableciendo la afirmación.

Esto no tiene que ser cierto si $M$ no es reflexivo. Por ejemplo, tomemos $R=k[\![x,y]\!]$ y dejemos que $M$ sea cualquier módulo $R$-indecomponible de rango $>1$. Entonces $\operatorname{Hom}_R(M,R)$ es un segundo sízygy y por lo tanto es libre sobre $R$ (ya que $R$ tiene dimensión global $2$). Dado que el rango de $M$ es mayor que $1$, se sigue que $\operatorname{Hom}_R(M,R) \cong R^{\oplus \operatorname{rank}(M)}$ no es indecomponible. Si se desea un $M$ concreto, tomar por ejemplo $M=\operatorname{im} \begin{pmatrix} y & x & 0 \\ 0 & y & x \\ \end{pmatrix}$