Operador acotado envía conjunto acotado a conjunto acotado

Question

Como se sigue del título, el ejercicio (supuestamente fácil) consiste en mostrar que $$\begin{Vmatrix} Tx\end{Vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}\iff T\text{ envía conjunto acotado a conjunto acotado}$$ (estamos hablando de un operador lineal entre espacios normados).

Sea $$A: = \{ y: \begin{Vmatrix} x - y\end{Vmatrix} \leq C_x \}$$ entonces $$ \begin{Vmatrix} Tx + Ty\end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} Tx\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} Ty \end{Vmatrix} \leq C_1 \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} + C_2 \begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}$$ por lo tanto la imagen de $A$ es acotada. Ahora tengo dificultades con la conversa, es una cuestión de notación, estoy seguro de que es más que fácil usando la notación correcta.

Answer 1

Supongamos que un operador lineal $T\colon X\longrightarrow Y$ mapea conjuntos acotados en $X$ en conjuntos acotados en $Y$. Sin pérdida de generalidad, elijamos cualquier conjunto acotado que esté centrado en cero. Esto significa que para cualquier $R>0$ fijo, existe una constante $M_R>0$ tal que $\|x\|\le R\implies \|Tx\|\le M_R$. Ahora tomamos cualquier $y$ distinto de cero en $X$ y fijamos $$ x=R\dfrac{y}{\|y\|} \implies \|x\| = R. $$ Así, \begin{align*} \dfrac{R}{\|y\|}\|Ty\| = \left\|T\left(\dfrac{R}{\|y\|}y\right)\right\| = \|Tx\| & \le M_R.\\ \implies \|Ty\| & \le \dfrac{M_R}{R}\|y\|. \end{align*> donde utilizamos de manera crucial la linealidad de $T$. Reordenando y tomando el supremo sobre todos los $y$ de norma 1 muestra que $T$ es acotado.