He sido seleccionada por mi colegio para enseñar integración a niños de 8 a 12 años. Soy una ingeniera que ha terminado Cálculo 1 y 2 pero no tengo ni idea de cómo enseñar integración desde cero a niños tan pequeños y al mismo tiempo hacerlo divertido para ellos. Me piden que cree un plan de clases, hojas de trabajo, manipulativos, etc.
Se agradece cualquier ayuda. Padres o profesores, sus ideas serán realmente útiles.
En primer lugar, su tarea es imposible de enseñar con rigor. Ya que estos estudiantes probablemente no tienen los conocimientos de álgebra necesarios para sentar las bases del éxito en el cálculo. Pero esto es lo que yo haría como plan de clase.
En primer lugar, define lo que significa área incluso en términos de área de un rectángulo. El área de un rectángulo es $length*width$ o $a*b$ .
A continuación, las áreas son aditivas y muestran otras áreas. Así, el área de un triángulo es $\frac{1}{2}a\cdot b$ . 
¿Pero por qué? Pues explícales que el área es aditiva y demuéstrales que esto es lo que tiene que ser el área de un triángulo, para que sea coherente con el área de un rectángulo. 
A continuación, aporta todas las pruebas que quieras para demostrar que Área de A + Área de B=Área de A y B.
También me quedaría con las formas geométricas de mostrar la mayoría de mis ideas.
Muestra también cómo el rectángulo A, $1\:\cdot \:2$ tiene la misma área que el rectángulo B, $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$ .
Y como una forma geométrica de ayudarles a entender que se puede cortar un rectángulo para conseguir el otro rectángulo, se pueden restar y sumar áreas de refuerzo.
De todos modos, una vez que los tienes interesados en la idea de que el área que si dos cosas tienen la misma área se puede cortar geométricamente una cosa en pedazos y formar la otra cosa; entonces introduce las curvas. Esta idea de que el área se puede cortar en trozos y reorganizarla para formar otra cosa con la misma área se destruye totalmente con los objetos con límites curvos.
Por ejemplo, ¿qué significa tener un área de $\pi $ Pues bien, enséñales que pueden encontrar el área en términos de rectángulos que ya conocen. 
Muéstrales que pueden aproximarse haciendo rectángulos lo suficientemente pequeños. Obviamente, no nos preocupamos tanto por los cálculos como por darles una comprensión general, así que yo no me excedería. Yo no introduciría los límites directamente, pero me aseguraría de que entienden que cuanto más pequeños sean los rectángulos, mejor será la aproximación.
Llegados a este punto, por fin empiezo a hablar de curvas e introduzco alguna notación. Empiezo con una curva simple y la divido en rectángulos. 
Yo digo $dx$ representa la anchura del pequeño rectángulo, $f(x)$ es la altura, $\int $ es la suma de, y $b$ y $a$ es mi intervalo. No voy a ponerme en plan técnico con respecto a lo que realmente representan. No estoy definiendo límites, ni entrando en sumas, antiderivadas o el teorema fundamental.
Muéstrales algo como $\int _0^1x^2dx=\frac{1}{3}$ y preguntarles qué $\int _0^13x^2dx$
Por último, enséñales cómo pueden aproximar las áreas de algunas curvas pequeñas.
Utilizaría la calculadora gráfica en línea Desmos para mostrarles cómo utilizar las aproximaciones del área rectangular.
Puede que esto no responda a su pregunta. Pero probablemente será una buena respuesta. ¡NO ENSEÑES CÁLCULO a los niños! Te sugiero que les enseñes algo más enriquecedor y realista como dijo paw88789. No hay necesidad de que estos niños aprendan cálculo a una edad tan temprana. El cálculo puede ser muy confuso y complejo, deberían esperar a que maduren un poco.
He sido seleccionada por mi colegio para enseñar integración a niños de grupo de edad de 8 a 12 años.
Dirígete a quien te ha seleccionado para enseñar cálculo y explícale lo poco realista que es su objetivo. ¿Hay alguna razón por la que quieran que enseñes cálculo a estos niños?
Soy un ingeniero que ha terminado Cálculo 1 y 2 pero no tengo ni idea de cómo enseñar la integración desde cero a niños tan pequeños
No deberías tener una idea de cómo enseñarlo. Algunos de estos niños no saben la tabla de multiplicar, ¿cómo vas a enseñarles cálculo? La respuesta es que no lo harás.
y al mismo tiempo hacer que sea divertido para ellos.
Enséñales algo que puedan entender. Y eso se aplica a ellos en la naturaleza. Algo de lo que puedan hablar con sus amigos. O simplemente sé un profesor fácil de llevar. Tal vez haga algunos chistes de matemáticas. Pero aléjate del cálculo. No es que el cálculo no pueda ser divertido, pero no pueden entenderlo ni aplicarlo.
Se me pide que cree un plan de clases, hojas de trabajo, manipulativos, etc. Se agradece cualquier ayuda. Padres/Maestros, sus ideas serán realmente útiles.
Si realmente no puedes evitar enseñarles algo más útil o pasar de la oferta. Entonces enséñales sobre las pendientes en su lugar. Entonces enséñales el concepto básico de las derivadas. Pero mantente alejado de la integración y la antidiferenciación. La antidiferenciación es como la antimultiplicación o la factorización, requiere mucha más habilidad. Las derivadas en sí mismas son una gran extensión, pero es una tarea mucho más razonable que la integración. Lo ideal es mantenerse alejado del cálculo por completo.
La mayoría de estos niños no van a ser licenciados en matemáticas y no tienen ningún propósito para aprender cálculo, especialmente a esa edad.
Define la integración como el área bajo una curva.
Utiliza ejemplos para aproximar áreas conocidas (empieza con la línea, por ejemplo, el área del trapecio, y hazlo más complejo como el semicírculo o la media elipse o la parábola) con rectángulos y ve acercando los números a lo que es el área.
No puedes enseñar integración analítica porque no podrán encontrar la antiderivada, así que quédate en aproximaciones geométricas. No estoy seguro de que puedas hacer mucho más a esa edad.
Lo máximo que se les puede enseñar antes de tener que explicar las derivadas es Sumas de Riemann . Esto les da la intuición geométrica detrás de la integral, pero no les da un método útil para evaluar integrales analíticamente. Podríamos decirles que $$\int_a^bx^n\,dx=\frac{1}{n+1}\left(b^{n+1}-a^{n+1}\right)$$ y pídeles que comprueben mediante sumas de Riemann si la fórmula da el área correcta. Pero no soy partidario de decir a los niños que usen ciertas fórmulas sin demostrar que funcionan, porque entonces sentirán que las matemáticas son sólo una memorización de fórmulas.
Para que el proceso de aprendizaje sea divertido, puedes enmarcar tus problemas de integración utilizando la física. Dales polinomios para la velocidad de un coche de carreras en función del tiempo y pídeles que determinen quién ganaría una carrera después de un tiempo determinado. Si no entienden la relación entre velocidad y desplazamiento, puedes explicárselo.
Para ser sincero, cuando me introdujeron por primera vez en el cálculo, me lo presentaron en términos de física. Ni siquiera sabía lo que era un límite. Creo que en lugar de complementarles en exceso deberías hacerlo lo más gráfico posible. Enséñales física básica, para que puedan relacionar las matemáticas con el mundo que les rodea. Plantea buenos problemas de palabras que tengan sentido para los alumnos. No tengo un plan de lección concreto para ti como algunas de las otras respuestas. PERO, aquí hay una serie de vídeos que me pareció bastante buena. Obviamente deberías ir mucho más despacio y simplificar los vídeos. También convertirlo en problemas de palabras. No te centres en los cálculos, sino en la comprensión de cómo estas ideas explican la física.
https://www.youtube.com/watch?v=dXGjJSMZGDA
Nota: No he colgado este vídeo en youtube. Así que si esta respuesta es útil, que el crédito vaya al cartel del video.
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