Problema de Números Primos Consecutivos

Question

Primos consecutivos cuyo cociente de su producto y suma es un número primo en sí mismo.

$$ 2 \times 3 \times 5 = 30 $$

$$ 30/10 = 3 $$

$$ 3 \times 5 \times 7 = 105 $$

$$ 105/15 = 7 $$

Pregunta: Pregunta de aficionado, ¿hay alguna forma de verificar otros números primos consecutivos que cumplan con este criterio sin tener que escribir un código personalizado como veo con tanta frecuencia? ¿Cuál es la próxima secuencia de primos como esta? Si pudiera aprender a hacer ese tipo de cálculo para este y todos los problemas futuros, me ahorraría mucho tiempo.

¡Gracias!

Answer 1

Supongamos que $5\leq p

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Generalizaciones: para cuatro primos consecutivos, puedes adaptar el argumento anterior o usar esta simple observación: supongamos que $p2$. Pero entonces, $p,q,r,s$ son todos impares así que $p+q+r+s$ es par, lo que a su vez implica que $pqrs$ es par. Esto fuerza a que $p=2$. Una contradicción.

Ahora básicamente puedes repetir este argumento para el problema que involucra $n$ primos consecutivos donde $n$ es par. Para $n$ impar, elige un $N$ inteligente para que si $N\leq p_1

Edición final: cualquier $N\geq 1+2^{n-2}$ funciona.