¿Qué es una solución valorada en medida de una EDP?

Question

¿Qué es una solución valorada en medida de una EDP?

Por ejemplo, la ecuación de Fokker-Planck \begin{align} \partial_t\mu_t+\sum_i\partial_i(b_i\mu_t)-\frac{1}{2}\sum_{ij}\partial_{ij}(a_{ij}\mu_t)=0 \end{align} dice que para una medida $\mu=\mu(t,x)=\mu_t(x)$ siendo una solución de la ecuación anterior significa \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}^N}\phi(x)d\mu_t(x)=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\sum_ib_i(t,x)\partial_i\phi(x)+\frac{1}{2}\sum_{ij}a_{ij}(t,x)\partial_{ij}\phi(x)\right)d\mu_t(x) \end{align} ¿Cómo llegamos a esto? Además, si comparamos esto con la formulación débil, ¿Cuál es la conexión entre una solución valorada en medida y una solución distribucional?

Answer 1

Aquí hay algo de motivación para la definición: Si tenemos una solución clásica (positiva) $f(t,x)$, definimos la medida $\mu(t,x)$ en $\mathbb{R}^N$ por $\mu(t,x)(A) = \int_{A} f(t,x)dx$, de manera que $d\mu_t = f(t,x)dx$. Multiplicando por una función de prueba $\phi(x),$, diferenciando en $t$ e integrando por partes obtenemos exactamente la fórmula anterior.

Las soluciones valuadas en medidas son convenientes para muchas situaciones, según puedo entender, porque simplifican la teoría de existencia para EDP. Por otro ejemplo, se pueden definir soluciones valuadas en medida para la ecuación de Monge-Ampere $\det D^2u = \nu$ requiriendo que $u$ sea una función convexa con $|Du(A)| = \nu(A)$, donde $Du(A)$ es la colección de pendientes de hiperplanos de soporte a $u$ en el conjunto $A$. En este contexto, la motivación para la definición es la fórmula del área, $|Du(A)| = \int_{A} \det D^2u.$