¿Es en realidad trivial esta desigualdad que parece bonita?

Question

Supongamos que, $x,y,z>0$ tal que $ xyz=1$, entonces demuestra que

$$(xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)2(x+y+z)^2 $$

Intenté usar la desigualdad

$$x^2+y^2+z^2xy+yz+xz$$

Luego obtuve,

$$(xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz) 2(xy+yz+xz)^22(x+y+z)^2\implies xy+yz+xzx+y+z$$

Lo cual es correcto, creo. Porque, el grado del polinomio $xy+yz+xz$ es mayor que el grado del polinomio $x+y+z$. Pero, no estoy seguro.

¿Es esta desigualdad trivial y es correcta mi solución?

Answer 1

Sea $S=x+y+z, T=xy+xz+yz$ y notemos que $S,T \ge 3$ por AMGM y $xyz=1$ y también $S^2 \ge 3T$ por C-S

La desigualdad es: $T(S^2-T) \ge 2S^2$

Caso 1: $S \ge T$ entonces $S^2(T-2) \ge S^2 \ge T^2$ lo que se reescribe en la desigualdad requerida

Caso 2: $S \le T$ entonces usando $S^2-T \ge 2T$ obtenemos $T(S^2-T) \ge 2T^2 \ge 2S^2$ ¡así que también estamos listos!

Answer 2

Tu solución es incorrecta, un valor de un polinomio de menor grado puede ser mayor que el valor correspondiente de un polinomio de mayor grado. Por ejemplo $x+5$ tiene grado $1$, $x^9$ tiene grado $9$ pero $1+5>1^9$.

Aquí tienes una solución correcta. Me encantaría ver una solución más simple, pero no veo una idea sustancialmente diferente.

Denota $a=xy+yz+xz, b=x+y+z$. Tu desigualdad es equivalente a $a(b^2-a)\ge 2b^2$ o $ab^2-a^2\ge 2b^2$ o $(a-2)b^2-a^2\ge 0$. Nota que por $AM>GM, x^2+y^2+z^2\ge 3$, también $a\ge 3$. Entonces $b^2=x^2+y^2+z^2+2a\ge 3+2a$. Por lo tanto, tu desigualdad se seguirá de $(a-2)(3+2a)-a^2\ge 0$ o $a^2-6-a\ge 0$. Dado que $a>0$, la última desigualdad es equivalente a $a\ge 3$ que ya hemos establecido.