En esta respuesta https://math.stackexchange.com/a/219508/27609 se señala que al multiplicar una matriz $A$ por un escalar $s$ es lo mismo que multiplicar una matriz $A$ por una matriz diagonal ${\rm diag}(c,c,\ldots, c)$ del tamaño apropiado. Pero, ¿es este también el caso cuando $s$ es un número complejo? ¿Qué significa cuando uno multiplica una matriz por ejemplo por la unidad imaginaria $i$? ¿Significa simplemente $$i *\pmatrix{a&b\\c&d} = \pmatrix{i&0\\0&i} \pmatrix{a&b\\c&d}?$$ ¿O significa $$i *\pmatrix{a&b\\c&d} = \pmatrix{0&1\\-1&0} \pmatrix{a&b\\c&d}?$$ Lo último también tendría sentido, ya que la unidad imaginaria $i$ es equivalente a la matriz 2x2 $J=\pmatrix{0&1\\-1&0},$ ya que $J^2=\pmatrix{-1&0\\0&-1}$ (ver por ejemplo Relación de esta matriz antisimétrica $r = \left(\begin{smallmatrix}0 &1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)$ con $i$), pero obviamente esto daría un resultado diferente al multiplicar con una matriz.
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Estás mezclando dos visiones diferentes de los números complejos aquí $\mathbb{C}$.
Los números complejos forman un campo, al igual que lo hacen los números reales (y también los números racionales), y como tal puedes formar espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$. En otras palabras, $\mathbb{C}$ puede ser el campo de escalares de algún espacio vectorial $V$. Dado que multiplicar un vector o matriz por un escalar simplemente significa multiplicar todos los componentes con ese escalar, tienes que $$ i \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & i & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i\cdot a_{11} & \ldots & i\cdot a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ i\cdot a_{m1} & \ldots & i\cdot a_{mn} \end{pmatrix} $$
Pero también puedes ver los números complejos como un espacio vectorial sobre los números reales, es decir, ver $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}^2$. Esa es la vista que las personas suelen tener en mente cuando hablan del plano complejo. La unidad real $1$ entonces corresponde al vector $(1,0)^T$ y la unidad imaginaria $i$ al vector $(0,1)^T$. La multiplicación con un número complejo fijo $c$ entonces es una transformación lineal en este espacio vectorial bidimensional, y como tal puede ser representada por una matriz. Si $c \in \mathbb{C}$ y $x_z=(\textrm{Re }z, \textrm{Im } z)^T$ es el vector correspondiente al número complejo $z$, entonces el vector correspondiente a $c \cdot z$ es $$ x_{c\cdot z} = M_c \cdot x_{z} = \underbrace{\begin{pmatrix} \textrm{Re } c & -\textrm{Im } c \\ \textrm{Im } c & \textrm{Re } c \end{pmatrix}}_{=M_c} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \textrm{Re }z \\ \textrm{Im } z \end{pmatrix}}_{x_z} \text{.} $$ En particular, la matriz correspondiente a una multiplicación con $i$ es $$ M_i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0
.$$
