¿Por qué es paradójico que "Ann cree que Bob asume que Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta"?

Question

En un documento (ver aquí) escrito por Adam Brandenburger y H. Jerome Keisler, presentan un teorema de imposibilidad de la teoría de juegos similar al Paradoxo de Russell:

Ann cree que Bob asume que Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta.

Su análisis es

Por una suposición (o creencia más fuerte) entendemos una creencia que implica todas las demás creencias.

Para llegar a la imposibilidad, preguntamos: ¿Cree Ann que la suposición de Bob es incorrecta? Si es así, entonces en la visión de Ann, la suposición de Bob, es decir "Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta", es correcta. Pero entonces Ann no cree que la suposición de Bob sea incorrecta, lo cual contradice nuestra suposición inicial. Esto deja la otra posibilidad, que Ann no cree que la suposición de Bob sea incorrecta. Si es así, entonces en la visión de Ann, la suposición de Bob, es decir "Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta", es incorrecta. Pero entonces Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta, así que nuevamente obtenemos una contradicción.

De hecho, no comprendo la primera parte:

Si "Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta", entonces en la visión de Ann, la suposición de Bob, es decir "Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta", es incorrecta.

¿Por qué?

¿Qué significa "una creencia que implica todas las demás creencias"?

Answer 1

La configuración "paradójica" es:

Ann cree que Bob asume que

Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta.

Aquí tenemos la suposición de Bob: "Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta".

Ahora consideremos la actitud de creencia de Ann hacia la suposición de Bob; podemos decir que si $p$ es alguna afirmación, un principio "razonable" será:

$Cree(Ann,p) \lor \lnot Cree(Ann,p)$.

Así, tenemos dos posibilidades:

(i) Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta.

Pero esto es exactamente la suposición de Bob: "Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta", y por lo tanto tenemos que concluir que, desde el punto de vista de Ann, la suposición de Bob es correcta, lo cual contradice la suposición inicial sobre la creencia de Ann.

Por lo tanto, tenemos que rechazarla, es decir la suposición sobre la creencia de Ann, y nos quedamos con la segunda posibilidad:

(ii) Ann no cree que la suposición de Bob es incorrecta.

Pero esto es la negación de la suposición de Bob: "Ann cree que la suposición de Bob es incorrecta", y tenemos que concluir que, desde el punto de vista de Ann, la suposición de Bob es incorrecta. Pero esto significa que Ann sí cree que la suposición de Bob es incorrecta, y nuevamente obtenemos una contradicción.

Hemos "agotado" todas las posibilidades y por lo tanto tenemos que concluir que:

la configuración de creencias en negrita es imposible.

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Según el autor, el argumento es una paradoja de autorreferencia sobre creencias similar al Paradoja de Russell "manufacturada" en el principio de que cualquier "condición" significativa $\varphi(x)$ puede ser utilizada para especificar un conjunto, es decir, el conjunto de todos y solo aquellos "objetos" que satisfacen la condición.

Si dejamos que $\varphi(x)$ signifique $x \in x$ y dejamos que $R = \{ x: \lnot \varphi(x) \}$, entonces $R$ es el conjunto cuyos miembros son exactamente aquellos objetos que no son miembros de sí mismos.

Por lo tanto aplicamos el principio razonable de que para cualquier conjunto $S$ y cualquier "objeto" $x$:

$x \in S \lor x \notin S$

con $R$ como tanto $x$ como $S$. Consideramos las dos posibilidades: (i) $R \in R$, y (ii) $R \notin R$, y sigue la contradicción.