Grupo formado en Parábola de manera similar a como se forma un grupo en una curva elíptica (trazando líneas, círculos, intersecciones o tomando líneas tangentes)

Question

Probablemente haya otras formas de hacer esto, pero he encontrado que esta es la manera más simple (ley de grupo) que realmente funciona:

Para añadir puntos $A, B \in \{(x, f(x)) : x \in \Bbb{C}\} = G$ donde $f$ es cualquier parábola con vértice $E \in G$, tratamos $E$ como cero. Ahora dibujamos una línea entre $A, B$ y luego dibujamos una línea paralela a esta línea que pase por $E$. El punto de intersección único (distinto de $E$, a menos que por supuesto $A = B = E$ o $A = -B$) es entonces el valor de la ley de grupo.

He comprobado todos los axiomas de un grupo usando Geogebra. Esto también funciona en un círculo si recuerdo correctamente.

Me pregunto:

¿Cómo expresamos $AB$ la ley de grupo abeliana algebraicamente?

Answer 1

¡Buena observación! Puedes simplemente sacarla algebraicamente. Comenzando con dos puntos $(a, a^2), (b, b^2)$ en la parabola $y = x^2$ (para mantener las cosas simples; podemos reducir a este caso sin pérdida de generalidad mediante un cambio adecuado de variables), la recta entre ellos tiene pendiente $\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b$, y la recta con esta pendiente que pasa por el origen intersecciona la parabola en el origen y en $(a + b, (a + b)^2)$.

Por lo tanto esto nos da un grupo algebraico aunque es solo el familiar grupo aditivo $\mathbb{G}_a$. Lo interesante es que esta construcción realmente tiene sentido en cualquier cónica no degenerada sobre cualquier campo. Por ejemplo, en el círculo $x^2 + y^2 = 1$ recuperamos $SO_2$ y en la hipérbola $xy = 1$ recuperamos el grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$. La analogía con las curvas elípticas se discute en detalle en Conics - a poor man's elliptic curves de Lemmermeyer.