Demostrando la ecuación de los gases ideales a partir de las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac

Question

Suponiendo las leyes empíricas de Boyle, Charles y Gay-Lussac, que respectivamente dicen que \begin{align} p&\propto f(T,N)\cdot {1\over V}\\ V&\propto g(p,N)\cdot T\\ p&\propto h(V,N)\cdot T\\ \end{align}

Preguntas:

1. ¿Cómo se puede demostrar a partir de esto que $pV=NkT$ para alguna constante $k$?
2. ¿Cómo se puede mostrar que es la solución única?
3. ¿Realmente necesitamos también la ley de Avogadro, $V\propto f_1(p,T)\cdot N$?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

Siendo yo mismo un termodinamista que disfruta la historia de la ciencia, lo que ocurrió fue

• En $1662$, Boyle demostró experimentalmente que, a temperatura constante $T$, el producto $P\,V$ es casi una constante
• En $1787$, Charles demostró experimentalmente que, a presión constante $P$, el cambio de volumen $\Delta V$ es proporcional al cambio de temperatura $\Delta T$
• En $1802$, Gay-Lussac verificó la ley de Charles, cuantificó el efecto de la temperatura y propuso $V=V_0(1+k T)$
• En $1834$, Clapeyron combinó estos resultados en la primera declaración de la llamada ley de los gases ideales como $P\,V=k (T+267)$
• Trabajos posteriores mostraron que el número debería ser $273.2$ cuando la temperatura está en Celsius y que $k/n$ ($n$, número de moles) es independiente de la sustancia (se convirtió en $R$).

Answer 2

La primera y tercera ecuación dicen que $$T\cdot h(V, N) \propto V^{-1} \cdot f(T, N)$$ es decir, $$V\cdot h(V, N)\propto T^{-1}\cdot f(T, N)$$ Ambos lados pueden depender solo de $N$, es decir, $f(T, N)=T\cdot F(N)$. De esto recuperamos: $$pV\propto F(N)\cdot T$$ Ahora usamos la ley de Avogadro para obtener $F(N)\propto N$.

Nota que sin ella, cada ecuación $pV=F(N)T$ es una solución a las primeras tres ecuaciones.