Resolviendo $\sin\left(2x\right)+5\bigl(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\bigr)+1=0$

Question

Intenté resolver este problema de trigonometría que he escrito a continuación con los pasos que tomé para llegar a una respuesta. ¿Lo hice correctamente? $$\sin\left(2x\right)+5\bigl(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\bigr)+1=0$$

usando la identidad bien conocida: $\sin^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1$, obtengo:

$$\color{red}{\sin\left(2x\right)}+5\bigl(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\bigr)+\color{red}{\sin^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)}=0$$

Luego veo que el "rojo" es simplemente $\bigl(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\bigr)^2$, por lo que $$\bigl(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\bigr)^2+5\bigl(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\bigr)=0$$

Luego dejo que $u=\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)$, obtengo $$u^2+5u=0$$ $$u=0,\:\text{y}\:u=-5$$

eliminando $u=-5$ como no solución, dejando solo $u=0$ como la única solución, volviendo a sustituir en "$u$",

$$0=\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)$$ $$\sin\left(x\right)=-\cos\left(x\right)$$ $$\tan\left(x\right)=-1$$

la solución que obtengo es $$x=\frac{3\pi }{4}+\pi n$$

No es necesario verificar si hay soluciones extranjeras ya que la función es continua.

¡Gracias por cualquier comentario!

Answer 1

En general, se ve genial, aunque tengo algunas cosas que comentar.

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Mi primera crítica es que quizás deberías justificar lo siguiente:

• $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + \sin 2x$. Esto se hace fácilmente al cuadrar el binomio al notar que $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

• $u = -5$ no genera solución. Esto se sigue fácilmente ya que $\sin x, \cos x$ son, como mínimo, cada uno $-1$.

Es cierto, como se señaló, que estas son justificaciones simples (claramente ya las conoces), pero quizás serían apreciadas por tu instructor por su completitud (si esto es para una clase).

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Luego, hacia el final, divides por $\cos x$ para obtener $\tan x$. Esto resulta en un problema si $\cos x = 0$, sin embargo. Por lo tanto, necesitas manejar ese caso por separado, y determinar si $x$ puede ser tal que tanto el seno como el coseno sean iguales a cero.

(Obviamente, no lo son, y tienes el conjunto de soluciones completo, esto es solo, nuevamente, en interés de la completitud.)