Expresando el área de un paralelogramo como la suma de las áreas de dos rectángulos usando el determinante

Question

Digamos que A= $\begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ \end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ \end{bmatrix}$ son dos vectores perpendiculares de longitud unitaria.
He estado tratando de entender cómo la expresión $\color{red}{x_1y_2}-\color{grey}{x_2y_1}$ proporciona el área del paralelogramo formado por estos vectores. Comencé con vectores unitarios perpendiculares para simplificar.

Por supuesto el área del cuadro azul no cambia al rotar, pero me pregunto si es posible ver por qué las áreas que cambian continuamente de los cuadrados rojo y negro se suman al área del cuadro azul?

Answer 1

Al mirar el eje $x$, en tu diagrama se puede ver claramente que el ancho de los cuadrados rojo y negro están definidos por la coordenada $x$ del vector $\pmb{A}$ y el vector $\pmb{B}$, respectivamente.

Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado rojo es $\cos(a)$.

De manera similar, la longitud del lado del cuadrado negro es $\cos(180-a-90) = \cos(90-a) = \sin(a).

Por lo tanto, el área del cuadrado rojo es $\cos^2 a$ y el área del cuadrado negro es $\sin^2 a.

Utilizando la identidad $\cos^2a + \sin^2a =1$,

se deduce que la suma del cuadrado rojo y el cuadrado negro es uno.

Answer 2

$x_2=-y_1$ y $y_2=x_1$ de modo que $x_1y_2-x_2y_1=x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=x_1^2+x_2^2=y_1^2+y_2^2$, el área constante.

La animación también ilustra el teorema de Pitágoras,

$$x_1^2+y_1^2=x_1^2+x_2^2=a^2,\\x_2^2+y_2^2=x_2^1+x_1^2=b^2.$$