Cómo escribir la velocidad del gas en el movimiento del cohete

Question

Considerando el movimiento de un cohete de masa $m$ en el espacio con gas expulsado a una velocidad relativa $u$. Encontré dos versiones diferentes de escribir el momentum del sistema en los libros Klepper Kolenkow y Morin. Ambos están de acuerdo sobre el momentum del sistema en el instante $t.

$$P(t)=mv$$

Mientras que la diferencia está en el momentum en el instante $t+dt. En Morin encontré:

$$P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(v-u)$$

Mientras que en Klepper Kolenkow se afirma:

$$P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(v+dv-u)$$

El hecho es: la masa $dm$ de gas está viajando a una velocidad relativa $u$ con respecto al cohete. ¿Pero se debe considerar que el cohete se está moviendo a una velocidad $v$ o $v+dv$ al escribir la velocidad del gas?

Answer 1

Las dos ecuaciones son iguales al primer orden, que es todo lo que es importante. Si estuviera escribiendo la ecuación para el momento total P(t+dt) yo mismo, probablemente anotaría la primera ecuación (la de Morin) ya que estaría pensando en la velocidad instantánea del cohete en el tiempo t en lugar de en el tiempo t+dt. Pero, de nuevo, la distinción no es importante. La única diferencia entre las ecuaciones es que al expandir la segunda ecuación da un término adicional de (dm)(dv), que es un infinitesimal de segundo orden y, por lo tanto, puede ser ignorado con respecto a todos los términos infinitesimales de primer orden.