Determinante del producto de dos matrices rectangulares

Question

Sea $u_1,\dots,u_n\in \mathbb{R}^n$ y $v_1, \dots, v_n\in \mathbb{R}^n$ dos conjuntos de vectores linealmente independientes. Supongamos que $U, V\in \mathbb{R}^{n\times (n-1)}$ son matrices tales que $U = [u_2 \cdots u_n]$ y $V = [v_2 \cdots v_n]$ (columnas que consisten en los vectores excepto $u_1, v_1$). ¿Entonces, cuál es $\det(U^\top V)$?

Sé que cuando los dos conjuntos son ortonormales, entonces $|\det(U^\top V)| = |\langle u_1, v_1 \rangle|$. No sé cómo demostrar este caso especial. La fórmula de Cauchy-Binet no parece darme nada (o quizás no sé cómo analizarla).

Editar: Entiendo que probablemente no haya una fórmula en forma cerrada cuando los vectores son arbitrarios. Aún me gustaría saber cómo probar el caso especial cuando los vectores son ortonormales.

Answer 1

Dado que los vectores pueden ser completamente arbitrarios, no habrá una fórmula corta para esto, pero puede resultarte útil esta fórmula para conectar los determinantes de $(u_1\;U)$ y $(v_1\;V)$ con el de $U^TV$ si es invertible:

Lema: Sean $a\in\mathbb{R}$ un escalar, $b,c\in\mathbb{R}^n$ vectores y $D\in\mathbb{R}^{n\times n}$ una matriz invertible, entonces: $$\det\begin{pmatrix} a & b^T \\ c & D \end{pmatrix} =\det(D)\left(a-b^TD^{-1}c\right)$$ Prueba: Sea $D_i$ la matriz $n\times(n-1)$ obtenida de $D$ al eliminar la columna $i$. La matriz $n\times n$ $(c\; D_i)$ obtenida al agregar el vector $c$ como primera columna puede ser transformada en la matriz $D_i(c)$, donde la columna $i$-ésima de $D$ ha sido reemplazada por $c$ al intercambiar columnas $i$ veces, por lo tanto $\det(c\; D_i)=(-1)^i\det D_i(c)$. Por la regla de Cramer, tenemos además $\det D_i(c)=\det(D)(D^{-1}c)_i$ y usando la expansión de Laplace para la primera fila obtenemos: $$\begin{align*} \det\begin{pmatrix} a & b^T \\ c & D \end{pmatrix} &=a\det(D) +\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}b_i\det(c\; D_i) =a\det(D) -\sum_{i=1}^nb_i\det D_i(c) \\ &=\det(D)\left(a-\sum_{i=1}^nb_i(D^{-1}c)_i\right) =\det(D)\left(a-b^TD^{-1}c\right), \end{align*}$$ lo cual concluye la prueba. $\square$

Del mismo modo tenemos también: $$\det\begin{pmatrix} D & c \\ b^T & a \end{pmatrix} =\det(D)\left(a-b^TD^{-1}c\right),$$ que es la versión utilizada en la teoría de Kaluza-Klein (4+1)D en física, por ejemplo.